Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita definida por
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, se soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Se ela convergir, também vamos calcular a soma.
Passo 2
Para determinar a convergência ou divergência de uma série, podemos usar vários testes. Neste caso, vamos comparar a série dada com uma série que já conhecemos: a série harmônica, que é
.
Passo 3
A série harmônica
é um exemplo clássico de uma série divergente. Isso significa que, à medida que somamos mais e mais termos, a soma fica cada vez maior sem se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 4
Vamos comparar nossa série
com a série harmônica multiplicada por 3:
. Observamos que
é semelhante a
para valores grandes de
.
Passo 5
Como a série
diverge (porque a série harmônica diverge) e
é comparável a
, podemos concluir, usando o teste de comparação, que a série
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Seja
um grupo e
. Mostre que
é um subgrupo de
.
Seja
um grupo e
. Defina: Índice de
em
.
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