Seja um grupo e . Defina: Índice de em .

Passo 1

Você me pediu para definir o índice de em , onde é um grupo e é um subgrupo de . Vamos usar conceitos de Teoria de Grupos, especificamente sobre subgrupos e suas relações dentro de um grupo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento identidade e existência de inversos.

Passo 3

Agora, um subgrupo de é um subconjunto de que também forma um grupo sob a mesma operação de . Ou seja, herda todas as propriedades de e está “contido” dentro de .

Passo 4

O índice de em , denotado por , mede quantas vezes o subgrupo cabe dentro do grupo . Em outras palavras, é o número de diferentes “cópias” de que existem em .

Passo 5

Mais tecnicamente, o índice é igual ao número de clases laterais de em . Uma classe lateral é um conjunto obtido multiplicando cada elemento de por um elemento fixo de . Se for finito, o índice também pode ser calculado pela relação:
onde e são as ordens (número de elementos) de e respectivamente.

Resposta

O índice de em , denotado por , é o número de classes laterais de em . Se for finito, o índice é dado por:
Isso representa quantas vezes o subgrupo está “contido” no grupo .

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