Seja
um grupo e
. Defina: Índice de
em
.
Passo 1
Você me pediu para definir o índice de
em
, onde
é um grupo e
é um subgrupo de
. Vamos usar conceitos de Teoria de Grupos, especificamente sobre subgrupos e suas relações dentro de um grupo maior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto com uma operação que combina quaisquer dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento identidade e existência de inversos.
Passo 3
Agora, um subgrupo
de
é um subconjunto de
que também forma um grupo sob a mesma operação de
. Ou seja,
herda todas as propriedades de
e está “contido” dentro de
.
Passo 4
O índice de
em
, denotado por
, mede quantas vezes o subgrupo
cabe dentro do grupo
. Em outras palavras, é o número de diferentes “cópias” de
que existem em
.
Passo 5
Mais tecnicamente, o índice é igual ao número de clases laterais de
em
. Uma classe lateral é um conjunto obtido multiplicando cada elemento de
por um elemento fixo de
. Se
for finito, o índice também pode ser calculado pela relação:
onde
e
são as ordens (número de elementos) de
e
respectivamente.
Resposta
O índice de
em
, denotado por
, é o número de classes laterais de
em
. Se
for finito, o índice é dado por:
Isso representa quantas vezes o subgrupo
está “contido” no grupo
.
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