Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma estrutura que não é um grupo. Isso envolve entender o que é um grupo na matemática, especificamente em álgebra abstrata. Pra resolver isso, vamos lembrar quais são os requisitos para uma estrutura ser considerada um grupo e, então, encontrar algo que não cumpra esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Em álgebra, um grupo é um conjunto combinado com uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de elementos inversos.
Passo 3
Vamos detalhar cada propriedade:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação, o resultado também deve estar no conjunto.
- Associatividade: A operação deve ser associativa, ou seja, para quaisquer três elementos
do conjunto, . - Elemento neutro: Deve existir um elemento no conjunto que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não muda esse elemento. Por exemplo, na adição, o neutro �� zero.
- Elementos inversos: Para cada elemento no conjunto, deve existir outro elemento que, quando operados juntos, resulta no elemento neutro.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma estrutura que não seja um grupo. Vamos pensar em um exemplo simples: o conjunto dos números naturais
com a operação de subtração.
Passo 5
Vamos verificar se essa estrutura satisfaz as propriedades de um grupo:
- Fechamento: Se subtrairmos dois números naturais, o resultado nem sempre é um número natural. Por exemplo,
, que não está em . - Como já falhamos na propriedade de fechamento, não precisamos verificar as outras propriedades. Portanto,
não é um grupo.
Resposta
Um exemplo de estrutura que não é um grupo é o conjunto dos números naturais
com a operação de subtração.
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.
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.
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. Mostre que
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.
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