Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se ela converge, calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas, que são aquelas onde muitos termos cancelam entre si, facilitando o cálculo da soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série telescópica. Isso significa que, ao expandirmos os termos, vários elementos se cancelam, deixando apenas alguns poucos para calcular a soma final. A ideia é que, ao somar os termos, grande parte deles “caem fora”.

Passo 3

Vamos expandir os primeiros termos da série para ver esse cancelamento acontecendo:
Como dá pra notar, aparece com sinal positivo e depois com negativo, cancelando-se. O mesmo acontece com , , e assim por diante.

Passo 4

Após o cancelamento, restam apenas o primeiro termo da primeira expressão e o último termo “infinito”. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular o que isso significa:
  1. Sabemos que permanece.
  2. O limite de quando vai para o infinito é , já que tende a zero.
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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Seja um grupo e . Defina: Índice de em .
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Determine se as séries são convergentes ou divergentes: