Determine se as séries são convergentes ou divergentes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série infinita converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente, vamos usar testes de convergência para chegar na resposta. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já saiba se converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a comparação com uma série conhecida. Observando que, para valores grandes de , é aproximadamente , podemos simplificar o termo para algo mais manejável.

Passo 3

Simplificando, temos:
Agora, a série fica parecida com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, a série comparada tem , que é maior que 1, então converge. Mas e nosso termo com o ?

Passo 5

Vamos usar o Teste da Comparação Limitada. Calculamos o limite do quociente dos termos:
Como o limite é infinito, isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos usar o Teste da Comparação Direta. Sabemos que para qualquer quando é grande. Escolhendo, por exemplo, , temos para grande, então:
E sabemos que diverge, mas isso não ajuda. Então, vamos usar o Teste da Integral.

Passo 6

Aplicando o Teste da Integral na função , integramos de 1 ao infinito:
Fazendo uma substituição simples, essa integral converge, pois a função decai rapidamente para zero. Portanto, a série também converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

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