Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série infinita
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente, vamos usar testes de convergência para chegar na resposta. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já saiba se converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a comparação com uma série conhecida. Observando que, para valores grandes de
,
é aproximadamente
, podemos simplificar o termo para algo mais manejável.
Passo 3
Simplificando, temos:
Agora, a série fica parecida com
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso, a série comparada tem
, que é maior que 1, então
converge. Mas e nosso termo com o
?
Passo 5
Vamos usar o Teste da Comparação Limitada. Calculamos o limite do quociente dos termos:
Como o limite é infinito, isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos usar o Teste da Comparação Direta. Sabemos que
para qualquer
quando
é grande. Escolhendo, por exemplo,
, temos
para
grande, então:
E sabemos que
diverge, mas isso não ajuda. Então, vamos usar o Teste da Integral.
Passo 6
Aplicando o Teste da Integral na função
, integramos de 1 ao infinito:
Fazendo uma substituição simples, essa integral converge, pois a função decai rapidamente para zero. Portanto, a série
também converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Seja
um grupo e
. Defina o conjunto gerado por
, isto é, defina
.
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
, então
.
Determine todas as classes laterais à esquerda de
em
.
Seja
sua idade. Calcule a soma da série
.