Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty n ln (n)(n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série infinita sumn=1^infty n ln (n)(n+1)^3 converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente, vamos usar testes de convergência para chegar na resposta. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já saiba se converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: n ln (n)(n+1)^3. Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a comparação com uma série conhecida. Observando que, para valores grandes de n, (n+1)^3 é aproximadamente n^3, podemos simplificar o termo para algo mais manejável.

Passo 3

Simplificando, temos:
n ln (n)(n+1)^3 approx n ln (n)n^3 = ln (n)n^2
Agora, a série fica parecida com sumn=1^infty ln (n)n^2.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1. No nosso caso, a série comparada tem p = 2, que é maior que 1, então sumn=1^infty 1n^2 converge. Mas e nosso termo com o ln(n)?

Passo 5

Vamos usar o Teste da Comparação Limitada. Calculamos o limite do quociente dos termos:
limn to infty ln (n)n^21n^2 = limn to infty ln(n) = infty
Como o limite é infinito, isso não nos ajuda diretamente. Então, vamos usar o Teste da Comparação Direta. Sabemos que ln(n) < n^epsilon para qualquer epsilon > 0 quando n é grande. Escolhendo, por exemplo, epsilon = 1, temos ln(n) < n para n grande, então:
ln (n)n^2 < nn^2 = 1n
E sabemos que sumn=1^infty 1n diverge, mas isso não ajuda. Então, vamos usar o Teste da Integral.

Passo 6

Aplicando o Teste da Integral na função f(n) = ln(n)n^2, integramos de 1 ao infinito:
integral1^infty ln(x)x^2 dx
Fazendo uma substituição simples, essa integral converge, pois a função decai rapidamente para zero. Portanto, a série sumn=1^infty ln (n)n^2 também converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty n ln (n)(n+1)^3 converge.

Exercícios relacionados