Determine todas as classes laterais à esquerda de H=(lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3),(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) em S3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo no grupo simétrico . Isso está relacionado ao estudo de grupos e suas subestruturas, especificamente cosets, que são conjuntos formados ao multiplicarmos todos os elementos de um subgrupo por um elemento fixo do grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são e , além de como calcular cosets.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos de S3 = e, (1 , 2), (1 , 3), (2 , 3), (1 , 2 , 3), (1 , 3 , 2) e de H = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 , 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 . O grupo simétrico H = e, (1 , 2) é o conjunto de todas as permutações de três elementos, ou seja, todas as maneiras de rearranjar três objetos. Existem 6 permutações em :
Aqui, representa a permutação identidade (não muda nada), e os outros símbolos representam trocas ou ciclos de elementos.
Agora, o subgrupo é dado por:
Interpretando isso, temos:
Então, é um subgrupo de com 2 elementos.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que o número de classes laterais à esquerda de [S3 : H] = |S3||H| = 62 = 3 em é dado pelo índice , que é o tamanho de dividido pelo tamanho de :
Isso significa que teremos 3 classes laterais à esquerda.

Passo 4

Vamos construir essas classes laterais. Uma classe lateral à esquerda de H = e, (1 , 2) em (1 , 3)H = (1 , 3), (1 , 3)(1 , 2) é um conjunto da forma (1 , 3)(1 , 2) = (1 , 2 , 3) , onde (1 , 3)H = (1 , 3), (1 , 2 , 3) é um elemento de (2 , 3)H = (2 , 3), (2 , 3)(1 , 2) . Vamos escolher representantes diferentes para cada classe.
  1. Primeira classe lateral (o próprio (2 , 3)(1 , 2) = (1 , 3 , 2) ):
    (2 , 3)H = (2 , 3), (1 , 3 , 2)
  2. Segunda classe lateral:
    Vamos escolher como representante.
    Calculando :
    Então:
  3. Terceira classe lateral:
    Agora, escolhemos como representante.
    Calculando :
    Então:

Resposta

As classes laterais à esquerda de H &= e, (1 , 2) , (1 , 3)H &= (1 , 3), (1 , 2 , 3) , (2 , 3)H &= (2 , 3), (1 , 3 , 2) em são:

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