Determine todas as classes laterais à esquerda de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo
no grupo simétrico
. Isso está relacionado ao estudo de grupos e suas subestruturas, especificamente cosets, que são conjuntos formados ao multiplicarmos todos os elementos de um subgrupo por um elemento fixo do grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são
e
, além de como calcular cosets.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos de
e de
. O grupo simétrico
é o conjunto de todas as permutações de três elementos, ou seja, todas as maneiras de rearranjar três objetos. Existem 6 permutações em
:
Aqui,
representa a permutação identidade (não muda nada), e os outros símbolos representam trocas ou ciclos de elementos.
Agora, o subgrupo
é dado por:
Interpretando isso, temos:
Então,
é um subgrupo de
com 2 elementos.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que o número de classes laterais à esquerda de
em
é dado pelo índice
, que é o tamanho de
dividido pelo tamanho de
:
Isso significa que teremos 3 classes laterais à esquerda.
Passo 4
Vamos construir essas classes laterais. Uma classe lateral à esquerda de
em
é um conjunto da forma
, onde
é um elemento de
. Vamos escolher representantes diferentes para cada classe.
-
Primeira classe lateral (o próprio
): -
Segunda classe lateral:
Vamos escolhercomo representante. Calculando: Então: -
Terceira classe lateral:
Agora, escolhemoscomo representante. Calculando: Então:
Resposta
As classes laterais à esquerda de
em
são:
Exercícios relacionados
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Seja
um grupo e
. Defina o conjunto gerado por
, isto é, defina
.
Seja
sua idade. Calcule a soma da série
.
Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.