Determine todas as classes laterais à esquerda de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo no grupo simétrico . Isso está relacionado ao estudo de grupos e suas subestruturas, especificamente cosets, que são conjuntos formados ao multiplicarmos todos os elementos de um subgrupo por um elemento fixo do grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são e , além de como calcular cosets.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos de e de . O grupo simétrico é o conjunto de todas as permutações de três elementos, ou seja, todas as maneiras de rearranjar três objetos. Existem 6 permutações em :
Aqui, representa a permutação identidade (não muda nada), e os outros símbolos representam trocas ou ciclos de elementos.
Agora, o subgrupo é dado por:
Interpretando isso, temos:
Então, é um subgrupo de com 2 elementos.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que o número de classes laterais à esquerda de em é dado pelo índice , que é o tamanho de dividido pelo tamanho de :
Isso significa que teremos 3 classes laterais à esquerda.

Passo 4

Vamos construir essas classes laterais. Uma classe lateral à esquerda de em é um conjunto da forma , onde é um elemento de . Vamos escolher representantes diferentes para cada classe.
  1. Primeira classe lateral (o próprio ):
  2. Segunda classe lateral:
    Vamos escolher como representante.
    Calculando :
    Então:
  3. Terceira classe lateral:
    Agora, escolhemos como representante.
    Calculando :
    Então:

Resposta

As classes laterais à esquerda de em são:

Exercícios relacionados

Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Seja um grupo e . Defina o conjunto gerado por , isto é, defina .
Seja sua idade. Calcule a soma da série .
Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.