Seja um grupo e . Defina o conjunto gerado por , isto é, defina .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um grupo e um elemento desse grupo. O que precisamos fazer é definir o conjunto gerado por , que a gente denota por . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre grupos e subgrupos, especialmente como gerar um subgrupo a partir de um único elemento.

Passo 2

Primeiro, lembra que um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz certas propriedades, como ter um elemento neutro e inversos para cada elemento. Um subgrupo é simplesmente um conjunto dentro do grupo que também é um grupo com a mesma operação.

Passo 3

Agora, quando falamos do conjunto gerado por um elemento , estamos querendo encontrar todos os possíveis “poderes” de dentro do grupo . Isso inclui elevado a qualquer inteiro positivo, negativo e também o elemento neutro.

Passo 4

Então, para definir , a gente junta todos esses poderes de . Ou seja, consideramos para todo número inteiro . Se for positivo, é multiplicado por si mesmo vezes. Se for negativo, é o inverso de elevado ao poder positivo correspondente. E para , temos o elemento neutro do grupo.

Passo 5

Dessa forma, o conjunto gerado por é formado por todos esses elementos. Ele é o menor subgrupo de que contém , porque inclui apenas os elementos necessários para que e suas potências formem um grupo.

Resposta

O conjunto gerado por é definido por
ou seja, todos os poderes inteiros de .

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