Seja
um grupo e
. Defina o conjunto gerado por
, isto é, defina
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um grupo
e um elemento
desse grupo. O que precisamos fazer é definir o conjunto gerado por
, que a gente denota por
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre grupos e subgrupos, especialmente como gerar um subgrupo a partir de um único elemento.
Passo 2
Primeiro, lembra que um grupo é um conjunto com uma operação que satisfaz certas propriedades, como ter um elemento neutro e inversos para cada elemento. Um subgrupo é simplesmente um conjunto dentro do grupo que também é um grupo com a mesma operação.
Passo 3
Agora, quando falamos do conjunto gerado por um elemento
, estamos querendo encontrar todos os possíveis “poderes” de
dentro do grupo
. Isso inclui
elevado a qualquer inteiro positivo, negativo e também o elemento neutro.
Passo 4
Então, para definir
, a gente junta todos esses poderes de
. Ou seja, consideramos
para todo número inteiro
. Se
for positivo, é
multiplicado por si mesmo
vezes. Se for negativo, é o inverso de
elevado ao poder positivo correspondente. E para
, temos o elemento neutro do grupo.
Passo 5
Dessa forma, o conjunto gerado por
é formado por todos esses elementos. Ele é o menor subgrupo de
que contém
, porque inclui apenas os elementos necessários para que
e suas potências formem um grupo.
Resposta
O conjunto gerado por
é definido por
ou seja, todos os poderes inteiros de
.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
, então
.
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
e
são ambas sequências divergentes, então
é divergente.
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Determine todas as classes laterais à esquerda de
em
.