Seja
sua idade. Calcule a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa calcular a soma da série
, sendo
a sua idade. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, e para resolver vamos precisar entender frações parciais e como simplificar séries usando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Essa é uma série infinita, ou seja, somamos termos indefinidamente a partir de
.
Passo 3
Para simplificar a soma, vamos usar frações parciais. A ideia é quebrar a fração
em duas partes mais simples. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos escolher valores para
que facilitem a resolução. Se
:
Agora, se
:
Então,
.
Passo 5
Com essa decomposição, nossa série fica:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Você nota que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Esse padrão continua infinitamente.
Passo 7
No final, todos os termos internos se cancelam, restando apenas o primeiro termo da série:
Resposta
A soma da série
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine todas as classes laterais à esquerda de
em
.
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.
Seja
um grupo e
. Mostre que
é um subgrupo de
.