Seja M sua idade. Calcule a soma da série sumk=M^infty 1k(k+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa calcular a soma da série sumk=M^infty 1k(k+1), sendo M a sua idade. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, e para resolver vamos precisar entender frações parciais e como simplificar séries usando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumk=M^infty 1k(k+1). Essa é uma série infinita, ou seja, somamos termos indefinidamente a partir de k = M.

Passo 3

Para simplificar a soma, vamos usar frações parciais. A ideia é quebrar a fração 1k(k+1) em duas partes mais simples. Vamos fazer isso:
1k(k+1) = Ak + Bk+1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de A e B. Multiplicando ambos os lados por k(k+1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(k+1) + Bk
Vamos escolher valores para k que facilitem a resolução. Se k = -1:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
Agora, se k = 0:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1
Então, 1k(k+1) = 1k - 1k+1.

Passo 5

Com essa decomposição, nossa série fica:
sumk=M^infty ( 1k - 1k+1 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
( 1M - 1M+1 ) + ( 1M+1 - 1M+2 ) + ( 1M+2 - 1M+3 ) + dots
Você nota que -1M+1 cancela com +1M+1, -1M+2 cancela com +1M+2, e assim por diante. Esse padrão continua infinitamente.

Passo 7

No final, todos os termos internos se cancelam, restando apenas o primeiro termo da série:
1M

Resposta

A soma da série sumk=M^infty 1k(k+1) é igual a 1M.

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