Seja sua idade. Calcule a soma da série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa calcular a soma da série , sendo a sua idade. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, e para resolver vamos precisar entender frações parciais e como simplificar séries usando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: . Essa é uma série infinita, ou seja, somamos termos indefinidamente a partir de .

Passo 3

Para simplificar a soma, vamos usar frações parciais. A ideia é quebrar a fração em duas partes mais simples. Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos escolher valores para que facilitem a resolução. Se :
Agora, se :
Então, .

Passo 5

Com essa decomposição, nossa série fica:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Você nota que cancela com , cancela com , e assim por diante. Esse padrão continua infinitamente.

Passo 7

No final, todos os termos internos se cancelam, restando apenas o primeiro termo da série:

Resposta

A soma da série é igual a .

Exercícios relacionados

Determine todas as classes laterais à esquerda de em .
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Dê um exemplo de uma estrutura que não é um grupo.
Seja um grupo e . Mostre que é um subgrupo de .