Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e relativamente primos e tal que e , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que se dois números, e , não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, são relativamente primos), e ambos dividem outro número , então o produto deles, , também divide . Para isso, vamos usar alguns conceitos de divisibilidade e números relativamente primos.

Passo 2

Primeiro, como divide (escrito como ), isso significa que existe um número inteiro tal que:
Da mesma forma, como divide ( ), existe um número inteiro tal que:

Passo 3

Como e são relativamente primos, o único divisor comum entre eles é 1. Isso significa que os fatores de e não se repetem, ou seja, não compartilham nenhum número primo em comum.

Passo 4

Sabendo que e , podemos igualar as duas expressões:
Como e são relativamente primos, para que essa igualdade seja verdadeira, deve dividir . Então, existe um inteiro tal que:

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Isso mostra que é múltiplo de , ou seja, .

Resposta

Portanto, se e são relativamente primos e ambos dividem , então o produto também divide , ou seja, .

Exercícios relacionados

Seja um interiro. Mostre que
(a) é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .
Seja um primo e .
Mostre que: Se então, ou .
Generalize este resultado para um produto de
Resolva as seguintes equações diofantinas
(a) .