Sejam a, b e c inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam a e b relativamente primos e c tal que a mid c e b mid c, então a b mid c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que se dois números, e , não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, são relativamente primos), e ambos dividem outro número , então o produto deles, , também divide . Para isso, vamos usar alguns conceitos de divisibilidade e números relativamente primos.

Passo 2

Primeiro, como c = a times k divide c = b times m (escrito como ), isso significa que existe um número inteiro tal que:
Da mesma forma, como divide ( ), existe um número inteiro tal que:

Passo 3

Como e são relativamente primos, o único divisor comum entre eles é 1. Isso significa que os fatores de e não se repetem, ou seja, não compartilham nenhum número primo em comum.

Passo 4

Sabendo que a times k = b times m e k = b times n , podemos igualar as duas expressões:
Como e são relativamente primos, para que essa igualdade seja verdadeira, deve dividir . Então, existe um inteiro tal que:

Passo 5

Substituindo c = a times k = a times (b times n) = (a times b) times n na expressão de :
Isso mostra que é múltiplo de , ou seja, .

Resposta

Portanto, se e são relativamente primos e ambos dividem , então o produto também divide , ou seja, .

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