Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam
e
relativamente primos e
tal que
e
, então
.
© Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que se dois números,
e
, não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, são relativamente primos), e ambos dividem outro número
, então o produto deles,
, também divide
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de divisibilidade e números relativamente primos.
Passo 2
Primeiro, como
divide
(escrito como
), isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Da mesma forma, como
divide
(
), existe um número inteiro
tal que:
Passo 3
Como
e
são relativamente primos, o único divisor comum entre eles é 1. Isso significa que os fatores de
e
não se repetem, ou seja, não compartilham nenhum número primo em comum.
Passo 4
Sabendo que
e
, podemos igualar as duas expressões:
Como
e
são relativamente primos, para que essa igualdade seja verdadeira,
deve dividir
. Então, existe um inteiro
tal que:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Isso mostra que
é múltiplo de
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, se
e
são relativamente primos e ambos dividem
, então o produto
também divide
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Seja
um interiro. Mostre que
(a) é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .
(a)
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .
(b)
Seja
um primo e
.
Mostre que: Se então,
ou
.
Generalize este resultado para um produto de
Mostre que: Se
Generalize este resultado para um produto de
Resolva as seguintes equações diofantinas
(a) .
(a)