Encontre valore para a e b que tornem a função f(x) é contínua em toda reta.
f(x)=llr x^2-4x-2, & se & x <= 2 a x^2-b x+3, & se & 2= 3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar os valores de e que tornam essa função contínua em toda a reta real. Isso significa que não pode haver “saltos” na função em nenhum ponto. Para resolver isso, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função para f(x) = x^2 - 4x - 2 :
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2
Então, temos:
Portanto, para , .

Passo 3

Agora, para garantir a continuidade em limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4 , o limite da função à esquerda de 2 deve ser igual ao limite à direita de 2. Já simplificamos a função à esquerda de 2 para f(x) = a x^2 - b x + 3 , então:
limx to 2^+ f(x) = a(2)^2 - b(2) + 3 = 4a - 2b + 3
Agora, vamos encontrar o limite à direita de 2 usando a segunda parte da função:
4a - 2b + 3 = 4
Então:
4a - 2b = 1 (Equação 1)
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 3^- f(x) = a(3)^2 - b(3) + 3 = 9a - 3b + 3 . O limite da função à esquerda de 3 deve ser igual ao limite à direita de 3. Usando a segunda parte da função para f(x) = 2x - a + b :
f(3) = 2(3) - a + b = 6 - a + b
E a terceira parte da função para 9a - 3b + 3 = 6 - a + b :
10a - 4b = 3 (Equação 2)
Então:
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
4a - 2b = 1 (Equação 1) 10a - 4b = 3 (Equação 2) çãçã
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
5a - 2b = 1.5
Agora, temos:
4a - 2b = 1 5a - 2b = 1.5
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(5a - 2b) - (4a - 2b) = 1.5 - 1 a = 0.5

Passo 6

Com 4(0.5) - 2b = 1 2 - 2b = 1 -2b = -1 b = 0.5 , vamos substituir na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que tornam a função contínua em toda a reta são e .

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