Encontre valore para e que tornem a função é contínua em toda reta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar os valores de e que tornam essa função contínua em toda a reta real. Isso significa que não pode haver “saltos” na função em nenhum ponto. Para resolver isso, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função para f(x) = x^2 - 4x - 2 :
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 para x neq 2
Então, temos:
Portanto, para , .
Passo 3
Agora, para garantir a continuidade em limx to 2^- f(x) = 2 + 2 = 4 , o limite da função à esquerda de 2 deve ser igual ao limite à direita de 2. Já simplificamos a função à esquerda de 2 para f(x) = a x^2 - b x + 3 , então:
Agora, vamos encontrar o limite à direita de 2 usando a segunda parte da função:
4a - 2b + 3 = 4
Então:
4a - 2b = 1 (Equação 1)
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 3^- f(x) = a(3)^2 - b(3) + 3 = 9a - 3b + 3 . O limite da função à esquerda de 3 deve ser igual ao limite à direita de 3. Usando a segunda parte da função para f(x) = 2x - a + b :
f(3) = 2(3) - a + b = 6 - a + b
E a terceira parte da função para 9a - 3b + 3 = 6 - a + b :
10a - 4b = 3 (Equação 2)
Então:
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: