Encontre valore para e que tornem a função é contínua em toda reta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar os valores de e que tornam essa função contínua em toda a reta real. Isso significa que não pode haver “saltos” na função em nenhum ponto. Para resolver isso, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira parte da função para :
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
Então, temos:
Portanto, para , .
Passo 3
Agora, para garantir a continuidade em , o limite da função à esquerda de 2 deve ser igual ao limite à direita de 2. Já simplificamos a função à esquerda de 2 para , então:
Agora, vamos encontrar o limite à direita de 2 usando a segunda parte da função:
Então:
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em . O limite da função à esquerda de 3 deve ser igual ao limite à direita de 3. Usando a segunda parte da função para :
E a terceira parte da função para :
Então:
Para a continuidade em :
Simplificando:
çã
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 6
Com , vamos substituir na Equação 1 para encontrar :
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em toda a reta são e .