Seja um inteiro positivo. Mostre que é possível obter inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número inteiro positivo , podemos encontrar números consecutivos onde nenhum desses números é primo. Isso está relacionado ao estudo dos números primos e da construção de sequências específicas de números. Para resolver isso, vamos usar uma estratégia que envolve fatoriais e propriedades dos números compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo: é um número maior que 1 que tem exatamente dois divisores distintos, ele mesmo e 1. Já um número composto tem mais de dois divisores. Nosso objetivo é construir uma sequência de números consecutivos todos compostos.
Passo 3
Vamos considerar o fatorial de , denotado por . O fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos até ele. Por exemplo, .
Passo 4
Agora, consideremos a sequência de números que começa em e vai até . Ou seja:
Vamos analisar por que todos esses números não são primos.
Passo 5
Pegue qualquer número dessa sequência, digamos , onde . Note que é um divisor de porque é múltiplo de todos os números de 1 até .
Passo 6
Então, é divisível por . Isso significa que tem pelo menos três divisores: 1, e ele mesmo. Portanto, não pode ser primo.
Passo 7
Como isso vale para cada número na nossa sequência de números consecutivos, concluímos que todos esses números são compostos. Assim, encontramos números consecutivos sem nenhum primo.
Resposta
É possível obter inteiros consecutivos sem que nenhum deles seja primo, construindo a sequência .