Seja n um inteiro positivo. Mostre que é possível obter n inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número inteiro positivo , podemos encontrar números consecutivos onde nenhum desses números é primo. Isso está relacionado ao estudo dos números primos e da construção de sequências específicas de números. Para resolver isso, vamos usar uma estratégia que envolve fatoriais e propriedades dos números compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo: é um número maior que 1 que tem exatamente dois divisores distintos, ele mesmo e 1. Já um número composto tem mais de dois divisores. Nosso objetivo é construir uma sequência de números consecutivos todos compostos.

Passo 3

Vamos considerar o fatorial de , denotado por . O fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos até ele. Por exemplo, .

Passo 4

Agora, consideremos a sequência de números que começa em n! + 2, n! + 3, dots, n! + n + 1 e vai até . Ou seja:
Vamos analisar por que todos esses números não são primos.

Passo 5

Pegue qualquer número dessa sequência, digamos , onde . Note que é um divisor de porque é múltiplo de todos os números de 1 até .

Passo 6

Então, é divisível por . Isso significa que tem pelo menos três divisores: 1, e ele mesmo. Portanto, não pode ser primo.

Passo 7

Como isso vale para cada número na nossa sequência de números consecutivos, concluímos que todos esses números são compostos. Assim, encontramos números consecutivos sem nenhum primo.

Resposta

É possível obter inteiros consecutivos sem que nenhum deles seja primo, construindo a sequência .

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