Seja
um inteiro positivo. Mostre que é possível obter
inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, para qualquer número inteiro positivo
, podemos encontrar
números consecutivos onde nenhum desses números é primo. Isso está relacionado ao estudo dos números primos e da construção de sequências específicas de números. Para resolver isso, vamos usar uma estratégia que envolve fatoriais e propriedades dos números compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo: é um número maior que 1 que tem exatamente dois divisores distintos, ele mesmo e 1. Já um número composto tem mais de dois divisores. Nosso objetivo é construir uma sequência de
números consecutivos todos compostos.
Passo 3
Vamos considerar o fatorial de
, denotado por
. O fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos até ele. Por exemplo,
.
Passo 4
Agora, consideremos a sequência de números que começa em
e vai até
. Ou seja:
Vamos analisar por que todos esses números não são primos.
Passo 5
Pegue qualquer número dessa sequência, digamos
, onde
. Note que
é um divisor de
porque
é múltiplo de todos os números de 1 até
.
Passo 6
Então,
é divisível por
. Isso significa que
tem pelo menos três divisores: 1,
e ele mesmo. Portanto,
não pode ser primo.
Passo 7
Como isso vale para cada número na nossa sequência de
números consecutivos, concluímos que todos esses números são compostos. Assim, encontramos
números consecutivos sem nenhum primo.
Resposta
É possível obter
inteiros consecutivos sem que nenhum deles seja primo, construindo a sequência
.