Determine todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270. Isso envolve entender sobre múltiplos e resolver uma equação simples. Vamos precisar lembrar como trabalhar com múltiplos e montar uma equação para achar os números que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos múltiplos de 11 e de 9. Um múltiplo de 11 pode ser representado como , onde é um número inteiro positivo. Da mesma forma, um múltiplo de 9 pode ser representado como , onde também é um número inteiro positivo.

Passo 3

Agora, sabemos que a soma desses dois múltiplos deve ser 270. Então, podemos montar a seguinte equação:
11k + 9m = 270
Nosso objetivo é encontrar todos os pares que satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar valores inteiros positivos de 9m = 270 - 11k e m = 270 - 11k9 .
Primeiro, isolemos uma das variáveis. Vamos isolar :
Para que seja um número inteiro positivo, o numerador precisa ser divisível por 9 e resultar em um número positivo.

Passo 5

Vamos encontrar os valores de 270 - 11k > 0 Rightarrow 11k < 270 Rightarrow k < 27011 approx 24,54 que satisfazem essas condições.
m = 270 - 11 times 39 = 270 - 339 = 2379 = 26.333 (Não é inteiro)
Como m = 270 - 11 times 69 = 270 - 669 = 2049 = 22.666 (Não é inteiro) deve ser um inteiro positivo, m = 270 - 11 times 99 = 270 - 999 = 1719 = 19 (Inteiro) pode variar de 1 a 24.
Agora, verificamos quais desses valores de m = 270 - 11 times 129 = 270 - 1329 = 1389 = 15.333 (Não é inteiro) fazem com que m = 270 - 11 times 159 = 270 - 1659 = 1059 = 11.666 (Não é inteiro) seja divisível por 9.
Vamos testar alguns valores:
  • Para m = 270 - 11 times 189 = 270 - 1989 = 729 = 8 (Inteiro) :
    m = 270 - 11 times 219 = 270 - 2319 = 399 = 4.333 (Não é inteiro) ãé
  • Para m = 270 - 11 times 249 = 270 - 2649 = 69 = 0.666 (Não é inteiro) :
    ãé
  • Para :
  • Para :
    ãé
  • Para :
    ãé
  • Para :
  • Para :
    ãé
  • Para :
    ãé

Resposta

Os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270 são:
  • e
  • e
Ou seja, os pares e .

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