Seja
um primo e
.
Mostre que: Se
então,
ou
.
Generalize este resultado para um produto de
Mostre que: Se
Generalize este resultado para um produto de
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem um número primo
e dois inteiros
e
. O enunciado diz que se
divide o produto
(ou seja,
), então
divide
ou
divide
(ou seja,
ou
). Nosso objetivo é provar isso e depois estender para um produto de vários
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um número primo. Um primo é um número maior que 1 que só tem dois divisores: ele mesmo e 1. Por exemplo, 2, 3, 5 são primos.
Passo 3
Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que todo número inteiro maior que 1 pode ser fatorado de maneira única em números primos. Isso vai nos ajudar a entender como os primos se comportam na fatoração de um produto.
Passo 4
Suponha que
divide
. Isso significa que na fatoração de
, o primo
está presente. Como
é a multiplicação de
e
, o primo
deve estar presente na fatoração de
ou na fatoração de
.
Passo 5
Se o primo
está na fatoração de
, então
. Se está na fatoração de
, então
. Então, de qualquer jeito,
divide pelo menos um dos dois números, ou seja,
ou
.
Passo 6
Agora, vamos generalizar isso para um produto de vários inteiros
. Queremos mostrar que se
divide o produto
, então
divide pelo menos um dos
.
Passo 7
A ideia é a mesma: se
divide o produto de vários números, então, como
é primo e só pode aparecer na fatoração de um dos fatores, ele deve dividir pelo menos um dos
. Isso pode ser mostrado usando indução matemática, mas a lógica básica segue a mesma do caso com dois números.
Resposta
Seja
um primo e
. Se
divide o produto
, então
divide pelo menos um dos
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e
relativamente primos e
tal que
e
, então
.
© Sejam
Seja
um interiro. Mostre que
(a) é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .
(a)
Resolva as seguintes equações diofantinas
(a) .
(a)
Determine todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270 .