Seja um primo e .
Mostre que: Se então, ou .
Generalize este resultado para um produto de

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem um número primo e dois inteiros e . O enunciado diz que se divide o produto (ou seja, ), então divide ou divide (ou seja, ou ). Nosso objetivo é provar isso e depois estender para um produto de vários .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um número primo. Um primo é um número maior que 1 que só tem dois divisores: ele mesmo e 1. Por exemplo, 2, 3, 5 são primos.

Passo 3

Vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que todo número inteiro maior que 1 pode ser fatorado de maneira única em números primos. Isso vai nos ajudar a entender como os primos se comportam na fatoração de um produto.

Passo 4

Suponha que divide . Isso significa que na fatoração de , o primo está presente. Como é a multiplicação de e , o primo deve estar presente na fatoração de ou na fatoração de .

Passo 5

Se o primo está na fatoração de , então . Se está na fatoração de , então . Então, de qualquer jeito, divide pelo menos um dos dois números, ou seja, ou .

Passo 6

Agora, vamos generalizar isso para um produto de vários inteiros . Queremos mostrar que se divide o produto , então divide pelo menos um dos .

Passo 7

A ideia é a mesma: se divide o produto de vários números, então, como é primo e só pode aparecer na fatoração de um dos fatores, ele deve dividir pelo menos um dos . Isso pode ser mostrado usando indução matemática, mas a lógica básica segue a mesma do caso com dois números.

Resposta

Seja um primo e . Se divide o produto , então divide pelo menos um dos .

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(a) .
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