Resolva as seguintes equações diofantinas
(a) .

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diofantina: . Equações diofantinas são aquelas onde buscamos soluções que sejam números inteiros. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar manipular a equação para encontrar valores de e que satisfaçam a igualdade usando apenas números inteiros.

Passo 2

Vamos começar isolando uma das variáveis para facilitar. Vou isolar o :

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar o valor de :

Passo 4

Como precisa ser um número inteiro, o numerador tem que ser divisível por 2. Isso significa que precisa ser um número par.

Passo 5

Vamos analisar a expressão . Sabemos que sempre será múltiplo de 3. Para que seja par, precisamos que seja ímpar (porque um número ímpar menos outro ímpar dá um número par).
Como é ímpar só se for ímpar, podemos escrever da seguinte forma:
onde é um número inteiro qualquer.

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão que encontramos para :
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Então, as soluções para a equação diofantina são:
onde pode ser qualquer número inteiro.

Resposta

As soluções inteiras da equação são dadas por:
para qualquer número inteiro .

Exercícios relacionados

Seja um primo e .
Mostre que: Se então, ou .
Generalize este resultado para um produto de
Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e relativamente primos e tal que e , então .
Determine todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270 .
Seja um inteiro positivo. Mostre que é possível obter inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.