Resolva as seguintes equações diofantinas
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diofantina:
. Equações diofantinas são aquelas onde buscamos soluções que sejam números inteiros. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar manipular a equação para encontrar valores de
e
que satisfaçam a igualdade usando apenas números inteiros.
Passo 2
Vamos começar isolando uma das variáveis para facilitar. Vou isolar o
:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar o valor de
:
Passo 4
Como
precisa ser um número inteiro, o numerador
tem que ser divisível por 2. Isso significa que
precisa ser um número par.
Passo 5
Vamos analisar a expressão
. Sabemos que
sempre será múltiplo de 3. Para que
seja par, precisamos que
seja ímpar (porque um número ímpar menos outro ímpar dá um número par).
Como
é ímpar só se
for ímpar, podemos escrever
da seguinte forma:
onde
é um número inteiro qualquer.
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão que encontramos para
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Então, as soluções para a equação diofantina são:
onde
pode ser qualquer número inteiro.
Resposta
As soluções inteiras da equação
são dadas por:
para qualquer número inteiro
.
Exercícios relacionados
Seja
um primo e
.
Mostre que: Se então,
ou
.
Generalize este resultado para um produto de
Mostre que: Se
Generalize este resultado para um produto de
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e
relativamente primos e
tal que
e
, então
.
© Sejam
Determine todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma é 270 .
Seja
um inteiro positivo. Mostre que é possível obter
inteiros consecutivos tais que nenhum deles seja primo.