Resolva as seguintes equações diofantinas
(a) 2 x+3 y=9.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diofantina: 2x + 3y = 9. Equações diofantinas são aquelas onde buscamos soluções que sejam números inteiros. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar manipular a equação para encontrar valores de x e y que satisfaçam a igualdade usando apenas números inteiros.

Passo 2

Vamos começar isolando uma das variáveis para facilitar. Vou isolar o x:
2x = 9 - 3y

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar o valor de x:
x = 9 - 3y2

Passo 4

Como x precisa ser um número inteiro, o numerador 9 - 3y tem que ser divisível por 2. Isso significa que 9 - 3y precisa ser um número par.

Passo 5

Vamos analisar a expressão 9 - 3y. Sabemos que 3y sempre será múltiplo de 3. Para que 9 - 3y seja par, precisamos que 3y seja ímpar (porque um número ímpar menos outro ímpar dá um número par).
Como 3y é ímpar só se y for ímpar, podemos escrever y da seguinte forma:
y = 2k + 1
onde k é um número inteiro qualquer.

Passo 6

Agora, vamos substituir y = 2k + 1 na expressão que encontramos para x:
x = 9 - 3(2k + 1)2
Vamos simplificar isso:
x = 9 - 6k - 32
x = 6 - 6k2
x = 3 - 3k

Passo 7

Então, as soluções para a equação diofantina são:
x = 3 - 3k
y = 2k + 1
onde k pode ser qualquer número inteiro.

Resposta

As soluções inteiras da equação 2x + 3y = 9 são dadas por:
x = 3 - 3k
y = 2k + 1
para qualquer número inteiro k.

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