Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em
precisamente quando
, em que
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
tem um ponto fixo em
exatamente quando
, onde
. Aqui, estamos trabalhando com pontos fixos e manipulação algébrica para conectar a função
com a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo
de uma função
é aquele que satisfaz a equação
. Ou seja, quando aplicamos a função no próprio ponto, o valor não muda.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, temos:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da equação:
Passo 7
Em seguida, trazemos todos os termos para o lado esquerdo da equação para igualar a zero:
Passo 8
Observamos que a equação resultante é exatamente
, onde
. Portanto, mostramos que
ocorre se e somente se
.
Resposta
Assim, concluímos que a função
tem um ponto fixo em
precisamente quando
, onde
.