Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Aqui, estamos trabalhando com **pontos fixos** e **manipulação algébrica** para conectar a função com a função .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é aquele que satisfaz a equação . Ou seja, quando aplicamos a função no próprio ponto, o valor não muda.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função , temos:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da equação:
Passo 7
Em seguida, trazemos todos os termos para o lado esquerdo da equação para igualar a zero:
Passo 8
Observamos que a equação resultante é exatamente , onde . Portanto, mostramos que ocorre se e somente se .
Resposta
Assim, concluímos que a função tem um ponto fixo em precisamente quando , onde .
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