Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p)=0, em que f(x)=x^4+2 x^2-x-3.
© g3(x)=(3+xx^2+2)^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Aqui, estamos trabalhando com pontos fixos e manipulação algébrica para conectar a função com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é aquele que satisfaz a equação . Ou seja, quando aplicamos a função no próprio ponto, o valor não muda.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função g3(p) = p Rightarrow (3 + pp^2 + 2)^1/2 = p , temos:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(3 + pp^2 + 2)^1/2 = p Rightarrow 3 + pp^2 + 2 = p^2

Passo 5

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por 3 + p = p^2 cdot (p^2 + 2) para eliminar o denominador:

Passo 6

Vamos expandir o lado direito da equação:
3 + p = p^4 + 2p^2

Passo 7

Em seguida, trazemos todos os termos para o lado esquerdo da equação para igualar a zero:
p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0

Passo 8

Observamos que a equação resultante é exatamente , onde . Portanto, mostramos que ocorre se e somente se .

Resposta

Assim, concluímos que a função tem um ponto fixo em precisamente quando , onde .

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