Determine um valor aproximado para , com precisão de ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método de Newton-Raphson

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma aproximação de usando o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica de cálculo numérico para encontrar raízes de funções. Aqui, nosso objetivo é chegar perto de com uma precisão de (ou seja, até duas casas decimais) ou fazer no máximo 6 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual função usar. Para encontrar , queremos resolver . Podemos reescrever isso como . Agora, queremos encontrar o valor de que zera essa função, ou seja, .

Passo 3

O Método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . Nossa função é , então a derivada é .

Passo 4

Vamos escolher um palpite inicial . Como e , sabemos que está entre 2 e 3. Vamos começar com .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 6

Agora, repetimos o processo com :
A diferença entre e é , que ainda não atingiu a precisão de .

Passo 7

Continuando com :
Agora, a diferença é praticamente zero, o que significa que atingimos a precisão desejada.

Resposta

Uma aproximação de é .

Exercícios relacionados

Encontre a maior raiz da função utilizando: Método de Newton-Raphson
Determine um valor aproximado para , com precisão de ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método da Falsa Posição
A distribuição de temperatura em cada ponto de um pedaço de arame de é dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método da Falsa Posição com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto, , e a profundidade da água, :
em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade, é a constante gravitacional e é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser determinada através do seu volume, sendo igual a 470 . O coeficiente de atrito é determinado experimentalmente e é dado por . A constante gravitacional é e o peso dos barris é . Determine a velocidade de impacto usando um método iterativo adequado, quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é . Utilize como aproximações iniciais e , e critério de parada uma precisão de 0.005 ou no máximo 4 iterações.
Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Considerando a situação anterior, haverá risco de contaminação?