Determine um valor aproximado para
, com precisão de
ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método de Newton-Raphson
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma aproximação de
usando o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica de cálculo numérico para encontrar raízes de funções. Aqui, nosso objetivo é chegar perto de
com uma precisão de
(ou seja, até duas casas decimais) ou fazer no máximo 6 iterações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual função usar. Para encontrar
, queremos resolver
. Podemos reescrever isso como
. Agora, queremos encontrar o valor de
que zera essa função, ou seja,
.
Passo 3
O Método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. Nossa função é
, então a derivada é
.
Passo 4
Vamos escolher um palpite inicial
. Como
e
, sabemos que
está entre 2 e 3. Vamos começar com
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Agora, repetimos o processo com
:
A diferença entre
e
é
, que ainda não atingiu a precisão de
.
Passo 7
Continuando com
:
Agora, a diferença é praticamente zero, o que significa que atingimos a precisão desejada.
Resposta
Uma aproximação de
é
.