Determine um valor aproximado para raiz5, com precisão de 10^-2 ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método de Newton-Raphson

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma aproximação de usando o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica de cálculo numérico para encontrar raízes de funções. Aqui, nosso objetivo é chegar perto de com uma precisão de (ou seja, até duas casas decimais) ou fazer no máximo 6 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual função usar. Para encontrar , queremos resolver . Podemos reescrever isso como . Agora, queremos encontrar o valor de que zera essa função, ou seja, .

Passo 3

O Método de Newton-Raphson usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a derivada da função . Nossa função é , então a derivada é .

Passo 4

Vamos escolher um palpite inicial . Como e , sabemos que está entre 2 e 3. Vamos começar com .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 2 - 2^2 - 52 times 2 = 2 - 4 - 54 = 2 - (-14) = 2.25

Passo 6

Agora, repetimos o processo com x2 = 2.25 - 2.25^2 - 52 times 2.25 = 2.25 - 5.0625 - 54.5 = 2.25 - 0.06254.5 approx 2.25 - 0.0139 = 2.2361 :
A diferença entre e é , que ainda não atingiu a precisão de .

Passo 7

Continuando com x3 = 2.2361 - 2.2361^2 - 52 times 2.2361 approx 2.2361 - 5.0000 - 54.4722 = 2.2361 - 0 = 2.2361 :
Agora, a diferença é praticamente zero, o que significa que atingimos a precisão desejada.

Resposta

Uma aproximação de é .

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