Determine um valor aproximado para
, com precisão de
ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método de Newton-Raphson
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma aproximação de
usando o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica de cálculo numérico para encontrar raízes de funções. Aqui, nosso objetivo é chegar perto de
com uma precisão de
(ou seja, até duas casas decimais) ou fazer no máximo 6 iterações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual função usar. Para encontrar
, queremos resolver
. Podemos reescrever isso como
. Agora, queremos encontrar o valor de
que zera essa função, ou seja,
.
Passo 3
O Método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. Nossa função é
, então a derivada é
.
Passo 4
Vamos escolher um palpite inicial
. Como
e
, sabemos que
está entre 2 e 3. Vamos começar com
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Agora, repetimos o processo com
:
A diferença entre
e
é
, que ainda não atingiu a precisão de
.
Passo 7
Continuando com
:
Agora, a diferença é praticamente zero, o que significa que atingimos a precisão desejada.
Resposta
Uma aproximação de
é
.
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, com precisão de
ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método da Falsa Posição
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de um pedaço de arame de
é dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método da Falsa Posição com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto,
, e a profundidade da água,
:
em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade,
é a constante gravitacional e
é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser determinada através do seu volume, sendo igual a 470 . O coeficiente de atrito é determinado experimentalmente e é dado por
. A constante gravitacional é
e o peso dos barris é
. Determine a velocidade de impacto
usando um método iterativo adequado, quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é
. Utilize como aproximações iniciais
e
, e critério de parada uma precisão de 0.005 ou no máximo 4 iterações.
Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Considerando a situação anterior, haverá risco de contaminação?
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