A distribuição de temperatura em cada ponto x de um pedaço de arame de 1,80 m é dada por:
T(x)=-8,12 x^3+41,88 x^2-71,99 x+40,23
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método da Falsa Posição com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ponto T(x) = -8,12x^3 + 41,88x^2 - 71,99x + 40,23 onde a temperatura é igual a zero em um arame de 1,80 metros. A função dada é:
Vamos usar o Método da Falsa Posição para encontrar essa raiz com uma precisão de 0,001 e no máximo 10 iterações. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, semelhante ao método da bissecção, mas geralmente converge mais rápido.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um intervalo T(0) = -8,12(0)^3 + 41,88(0)^2 - 71,99(0) + 40,23 = 40,23 onde a função muda de sinal, ou seja, T(1,8) = -8,12(1,8)^3 + 41,88(1,8)^2 - 71,99(1,8) + 40,23 e T(1,8) = -8,12(5,832) + 41,88(3,24) - 71,99(1,8) + 40,23 = -47,33 + 135,36 - 129,58 + 40,23 = -1,32 têm sinais opostos. Isso garante que haja pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar e :
Calculando :
Então, (positivo) e (negativo). Há, portanto, uma raiz entre 0 e 1,8 metros.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Falsa Posição. A fórmula para a próxima aproximação c = b - T(b)(a - b)T(a) - T(b) é:
Onde:
  • e são os limites do intervalo.
  • e são os valores da função nesses pontos.
Vamos iniciar com e .

Passo 4

Iteração 1:
c = 1,8 - T(1,8)(0 - 1,8)T(0) - T(1,8) = 1,8 - (-1,32)(-1,8)40,23 - (-1,32) = 1,8 - 2,37641,55 approx 1,8 - 0,0572 = 1,7428
Calculamos T(1,7428) approx -8,12(1,7428)^3 + 41,88(1,7428)^2 - 71,99(1,7428) + 40,23 approx -8,12(5,276) + 41,88(3,037) - 71,99(1,7428) + 40,23 approx -42,83 + 126,96 - 125,56 + 40,23 approx -1,20 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 5

Iteração 2:
c = 1,7428 - T(1,7428)(0 - 1,7428)T(0) - T(1,7428) = 1,7428 - (-1,20)(-1,7428)40,23 - (-1,20) = 1,7428 - 2,09141,43 approx 1,7428 - 0,0504 = 1,6924
Calculamos T(1,6924) approx -8,12(1,6924)^3 + 41,88(1,6924)^2 - 71,99(1,6924) + 40,23 approx -8,12(4,842) + 41,88(2,866) - 71,99(1,6924) + 40,23 approx -39,25 + 120,19 - 121,59 + 40,23 approx -0,42 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 6

Iteração 3:
c = 1,6924 - T(1,6924)(0 - 1,6924)T(0) - T(1,6924) = 1,6924 - (-0,42)(-1,6924)40,23 - (-0,42) = 1,6924 - 0,711340,65 approx 1,6924 - 0,0175 = 1,6749
Calculamos T(1,6749) approx -8,12(1,6749)^3 + 41,88(1,6749)^2 - 71,99(1,6749) + 40,23 approx -8,12(4,700) + 41,88(2,806) - 71,99(1,6749) + 40,23 approx -38,16 + 117,76 - 120,28 + 40,23 approx -0,45 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 7

Iteração 4:
c = 1,6749 - T(1,6749)(0 - 1,6749)T(0) - T(1,6749) = 1,6749 - (-0,45)(-1,6749)40,23 - (-0,45) = 1,6749 - 0,756740,68 approx 1,6749 - 0,0186 = 1,6563
Calculamos T(1,6563) approx -8,12(1,6563)^3 + 41,88(1,6563)^2 - 71,99(1,6563) + 40,23 approx -8,12(4,547) + 41,88(2,732) - 71,99(1,6563) + 40,23 approx -36,87 + 114,35 - 119,19 + 40,23 approx -1,48 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 8

Iteração 5:
c = 1,6563 - T(1,6563)(0 - 1,6563)T(0) - T(1,6563) = 1,6563 - (-1,48)(-1,6563)40,23 - (-1,48) = 1,6563 - 2,456241,71 approx 1,6563 - 0,0588 = 1,5975
Calculamos T(1,5975) approx -8,12(1,5975)^3 + 41,88(1,5975)^2 - 71,99(1,5975) + 40,23 approx -8,12(4,07) + 41,88(2,55) - 71,99(1,5975) + 40,23 approx -32,89 + 106,94 - 114,59 + 40,23 approx -0,31 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 9

Iteração 6:
c = 1,5975 - T(1,5975)(0 - 1,5975)T(0) - T(1,5975) = 1,5975 - (-0,31)(-1,5975)40,23 - (-0,31) = 1,5975 - 0,494340,54 approx 1,5975 - 0,0122 = 1,5853
Calculamos T(1,5853) approx -8,12(1,5853)^3 + 41,88(1,5853)^2 - 71,99(1,5853) + 40,23 approx -8,12(3,989) + 41,88(2,513) - 71,99(1,5853) + 40,23 approx -32,35 + 105,30 - 114,05 + 40,23 approx -1,87 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Passo 10

Iteração 7:
c = 1,5853 - T(1,5853)(0 - 1,5853)T(0) - T(1,5853) = 1,5853 - (-1,87)(-1,5853)40,23 - (-1,87) = 1,5853 - 2,964 42,10 approx 1,5853 - 0,0704 = 1,5149
Calculamos T(1,5149) approx -8,12(1,5149)^3 + 41,88(1,5149)^2 - 71,99(1,5149) + 40,23 approx -8,12(3,475) + 41,88(2,295) - 71,99(1,5149) + 40,23 approx -28,21 + 96,50 - 109,14 + 40,23 approx -0,62 :
Como é negativo, substituímos por :
Novo intervalo: ,

Resposta

Após 7 iterações, a aproximação do ponto onde a temperatura é igual a zero é aproximadamente metros.

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