A distribuição de temperatura em cada ponto
de um pedaço de arame de
é dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método da Falsa Posição com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ponto
onde a temperatura
é igual a zero em um arame de 1,80 metros. A função dada é:
Vamos usar o Método da Falsa Posição para encontrar essa raiz com uma precisão de 0,001 e no máximo 10 iterações. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, semelhante ao método da bissecção, mas geralmente converge mais rápido.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante que haja pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar
e
:
Calculando
:
Então,
(positivo) e
(negativo). Há, portanto, uma raiz entre 0 e 1,8 metros.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Falsa Posição. A fórmula para a próxima aproximação
é:
Onde:
-
e são os limites do intervalo. -
e são os valores da função nesses pontos.
Vamos iniciar com
e
.
Passo 4
Iteração 1:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 5
Iteração 2:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 6
Iteração 3:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 7
Iteração 4:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 8
Iteração 5:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 9
Iteração 6:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Passo 10
Iteração 7:
Calculamos
:
Como
é negativo, substituímos
por
:
Novo intervalo:
,
Resposta
Após 7 iterações, a aproximação do ponto onde a temperatura é igual a zero é aproximadamente
metros.