Determine o valor de L para que as funções sejam contínuas nos pontos dados: f(x)=c4-x+x^3, se x <= 1 9-L x^2, se x>1 no ponto x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula no ponto e precisa descobrir o valor de para que essa função seja contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que garante que não haja “saltos” na curva da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Isso quer dizer que o limite da função pela esquerda ( se aproximando de 1 por valores menores) deve ser igual ao limite pela direita ( se aproximando de 1 por valores maiores) e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em f(1) = 4 - 1 + (1)^3 = 4 - 1 + 1 = 4 . Como , usamos a primeira expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda de limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (4 - x + x^3) = 4 - 1 + 1 = 4 :

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite pela direita de limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (9 - Lx^2) = 9 - L(1)^2 = 9 - L . Para , usamos a segunda expressão:

Passo 6

Para que a função seja contínua em 4 = 9 - L , os limites devem ser iguais ao valor da função em . Então, igualamos:

Passo 7

Resolvendo para L = 9 - 4 = 5 :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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