Determine o valor lógico de cada uma das expressões quantificadas abaixo, assumindo que o domínio consiste de todos os números inteiros.
forall n(n^2 >= n)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão com quantificador universal: forall n(n^2 >= n). Isso significa que queremos saber se, para todo número inteiro n, o quadrado de n é maior ou igual a n. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada parte da expressão quer dizer e verificar se realmente funciona para todos os inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa forall n. Esse símbolo forall é o quantificador universal e diz que a afirmação que vem depois deve ser verdadeira para todos os valores possíveis de n no domínio, que no caso são todos os números inteiros.

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão dentro do quantificador: n^2 >= n. Isso quer dizer que o quadrado de qualquer número inteiro n deve ser maior ou igual a n.

Passo 4

Vamos testar alguns valores de n para ver se a expressão sempre é verdadeira:
  • Se n = 0: 0^2 = 0 e 0 >= 0 é verdadeiro.
  • Se n = 1: 1^2 = 1 e 1 >= 1 é verdadeiro.
  • Se n = 2: 2^2 = 4 e 4 >= 2 é verdadeiro.
  • Se n = -1: (-1)^2 = 1 e 1 >= -1 é verdadeiro.
  • Se n = -2: (-2)^2 = 4 e 4 >= -2 é verdadeiro.

Passo 5

Parece que para os exemplos que testamos, a expressão n^2 >= n é sempre verdadeira. Mas precisamos ter certeza se isso vale para todos os inteiros.

Passo 6

Vamos analisar matematicamente: n^2 - n >= 0. Podemos fatorar isso como n(n - 1) >= 0. Isso será verdadeiro quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
  • Se n >= 1, então n - 1 >= 0, então n(n - 1) >= 0.
  • Se n <= 0, então n - 1 <= -1, e como n também é negativo ou zero, o produto n(n - 1) será positivo ou zero.
Portanto, para todo inteiro n, a expressão n^2 >= n é verdadeira.

Resposta

A expressão forall n(n^2 >= n) é verdadeira para todos os números inteiros n.

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