Determine o valor lógico de cada uma das expressões quantificadas abaixo, assumindo que o domínio consiste de todos os números inteiros.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão com quantificador universal:
. Isso significa que queremos saber se, para todo número inteiro
, o quadrado de
é maior ou igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada parte da expressão quer dizer e verificar se realmente funciona para todos os inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo
é o quantificador universal e diz que a afirmação que vem depois deve ser verdadeira para todos os valores possíveis de
no domínio, que no caso são todos os números inteiros.
Passo 3
Agora, olhemos para a expressão dentro do quantificador:
. Isso quer dizer que o quadrado de qualquer número inteiro
deve ser maior ou igual a
.
Passo 4
Vamos testar alguns valores de
para ver se a expressão sempre é verdadeira:
- Se
: e é verdadeiro. - Se
: e é verdadeiro. - Se
: e é verdadeiro. - Se
: e é verdadeiro. - Se
: e é verdadeiro.
Passo 5
Parece que para os exemplos que testamos, a expressão
é sempre verdadeira. Mas precisamos ter certeza se isso vale para todos os inteiros.
Passo 6
Vamos analisar matematicamente:
. Podemos fatorar isso como
. Isso será verdadeiro quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
- Se
, então , então . - Se
, então , e como também é negativo ou zero, o produto será positivo ou zero.
Portanto, para todo inteiro
, a expressão
é verdadeira.
Resposta
A expressão
é verdadeira para todos os números inteiros
.