Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas premissas universais e precisa mostrar que, a partir delas, sempre que elas forem verdadeiras, a conclusão também será verdadeira. A matéria aqui é Lógica de Predicados, usando regras de inferência para chegar à conclusão. Vamos precisar entender como manipular quantificadores universais (
∀
) e aplicar implicações e conjunções.Passo 2
Primeiro, vamos pegar as premissas que temos:
Como temos quantificadores universais, vamos usar a Instanciação Universal, que permite substituir o
x
por um elemento específico, mas como queremos provar que vale para todo x
, faremos isso de forma genérica.Passo 3
Aplicando a instanciação universal na primeira premissa, temos para um
x
qualquer:Isso significa que se
P(x)
for verdadeiro, então tanto Q(x)
quanto S(x)
serão verdadeiros.Passo 4
Agora, aplicando a instanciação universal na segunda premissa:
Isso nos diz que tanto
P(x)
quanto R(x)
são verdadeiros para esse x
.Passo 5
Com as duas express��es obtidas, podemos usar a Modus Ponens. Sabemos que
P(x)
é verdadeiro pela segunda premissa, e a primeira premissa nos diz que se P(x)
é verdadeiro, então Q(x) ∧ S(x)
também é verdadeiro. Logo, aplicando Modus Ponens:Então, agora sabemos que
Q(x)
e S(x)
são verdadeiros.Passo 6
Voltando à segunda premissa, já sabemos que
R(x)
é verdadeiro. E acabamos de provar que S(x)
também é verdadeiro. Portanto, podemos combinar esses dois com a Conjunção:Passo 7
Como fizemos todo esse raciocínio para um
x
qualquer, podemos generalizar usando a Generalização Universal. Ou seja, o que provamos para um x
qualquer vale para todos os x
. Assim, temos:Resposta
Portanto, mostramos que a conclusão
é válida a partir das premissas dadas.