Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas premissas universais e precisa mostrar que, a partir delas, sempre que elas forem verdadeiras, a conclusão também será verdadeira. A matéria aqui é Lógica de Predicados, usando regras de inferência para chegar à conclusão. Vamos precisar entender como manipular quantificadores universais () e aplicar implicações e conjunções.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar as premissas que temos:
Como temos quantificadores universais, vamos usar a Instanciação Universal, que permite substituir o x por um elemento específico, mas como queremos provar que vale para todo x, faremos isso de forma genérica.

Passo 3

Aplicando a instanciação universal na primeira premissa, temos para um x qualquer:
Isso significa que se P(x) for verdadeiro, então tanto Q(x) quanto S(x) serão verdadeiros.

Passo 4

Agora, aplicando a instanciação universal na segunda premissa:
Isso nos diz que tanto P(x) quanto R(x) são verdadeiros para esse x.

Passo 5

Com as duas express��es obtidas, podemos usar a Modus Ponens. Sabemos que P(x) é verdadeiro pela segunda premissa, e a primeira premissa nos diz que se P(x) é verdadeiro, então Q(x) ∧ S(x) também é verdadeiro. Logo, aplicando Modus Ponens:
Então, agora sabemos que Q(x) e S(x) são verdadeiros.

Passo 6

Voltando à segunda premissa, já sabemos que R(x) é verdadeiro. E acabamos de provar que S(x) também é verdadeiro. Portanto, podemos combinar esses dois com a Conjunção:

Passo 7

Como fizemos todo esse raciocínio para um x qualquer, podemos generalizar usando a Generalização Universal. Ou seja, o que provamos para um x qualquer vale para todos os x. Assim, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que a conclusão é válida a partir das premissas dadas.

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