Determine o valor de:
prodi=1^n x^i(i+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o valor do produto prodi=1^n x^i(i+1). Isso está relacionado com potências e produtos em matemática. Para resolver, vamos precisar das regras de potências e das fórmulas de somatório de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos potências com a mesma base, a gente soma os expoentes. Ou seja:
prodi=1^n x^i(i+1) = x^sumi=1^n i(i+1)
Então, o próximo passo é calcular a soma dos expoentes i(i+1) de 1 até n.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
i(i+1) = i^2 + i
Assim, a soma fica:
sumi=1^n i(i+1) = sumi=1^n (i^2 + i) = sumi=1^n i^2 + sumi=1^n i

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas conhecidas para somatórios:
  • A soma dos primeiros n números é:
sumi=1^n i = n(n+1)2
  • A soma dos quadrados dos primeiros n números é:
sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6
Substituindo essas fórmulas na soma anterior:
sumi=1^n i(i+1) = n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)2

Passo 5

Vamos combinar os termos:
n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)2 = n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)6 = n(n+1)(2n+1 + 3)6 = n(n+1)(2n+4)6
Simplificando ainda mais:
n(n+1)(2n+4)6 = n(n+1)(n+2)3

Resposta

Portanto, o valor do produto é:
x^n(n+1)(n+2)3

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