Determine o valor de L para que f(x, y) seja contínua em (0,0).
f(x, y)=cc sen(x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Então, a gente tem uma função f(x, y) que muda de definição dependendo se (x, y) é igual a (0,0) ou não. O objetivo aqui é descobrir qual valor L precisa ter para que essa função seja contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e precisar calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) = L
Então, nosso trabalho é encontrar esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função dada é:
f(x, y) = sen(x^2+y^2)x^2+y^2
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Assim, x^2 + y^2 = r^2. A função fica:
f(r) = sen(r^2)r^2
Agora, sabemos que:
limz to 0 sen(z)z = 1
Aqui, z = r^2, então quando r to 0, z to 0 também. Portanto:
limr to 0 sen(r^2)r^2 = 1

Passo 4

Como o limite da função quando (x, y) to (0,0) é 1, para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:
L = 1

Resposta

O valor de L que torna f(x, y) contínua em (0,0) é 1.

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