Então, a gente tem uma função que muda de definição dependendo se é igual a ou não. O objetivo aqui é descobrir qual valor precisa ter para que essa função seja contínua no ponto . Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e precisar calcular o limite da função quando se aproxima de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos que:
Então, nosso trabalho é encontrar esse limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função dada é:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, . A função fica:
Agora, sabemos que:
Aqui, , então quando , também. Portanto:
Passo 4
Como o limite da função quando é , para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter: