Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que muda de definição dependendo se
é igual a
ou não. O objetivo aqui é descobrir qual valor
precisa ter para que essa função seja contínua no ponto
. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos que:
Então, nosso trabalho é encontrar esse limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
. A função dada é:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
. A função fica:
Agora, sabemos que:
Aqui,
, então quando
,
também. Portanto:
Passo 4
Como o limite da função quando
é
, para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é
.