Determine o valor de para que seja contínua em .

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de definição dependendo se é igual a ou não. O objetivo aqui é descobrir qual valor precisa ter para que essa função seja contínua no ponto . Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e precisar calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, queremos que:
Então, nosso trabalho é encontrar esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função dada é:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, . A função fica:
Agora, sabemos que:
Aqui, , então quando , também. Portanto:

Passo 4

Como o limite da função quando é , para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:

Resposta

O valor de que torna contínua em é .

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Sejam as matrizes . Calcule:
Seja uma sequência de número reais. Ela se chama uma Sequência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real , pode-se obter um tal que e implica que . Com isso, verifique os itens abaixo:
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.
Estudar a demonstração do Método das Aproximações Sucessivas.
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