Seja uma sequência de número reais. Ela se chama uma Sequência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real , pode-se obter um tal que e implica que . Com isso, verifique os itens abaixo:
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências de Cauchy e quer que a gente verifique dois itens:
(a) Se toda sequência que converge é de Cauchy;
(b) Se toda sequência de Cauchy é limitada.
Vamos precisar entender o que significa uma sequência convergente e uma sequência de Cauchy, além de saber o que é uma sequência limitada.
Passo 2
Vamos começar com o item (a): Toda sequência convergente é de Cauchy.
Primeiro, uma sequência convergente é aquela que tem um limite finito, ou seja, conforme a gente vai avançando na sequência, os termos ficam cada vez mais próximos de um certo número L.
Uma sequência de Cauchy é aquela onde, para qualquer diferença pequena que a gente escolher (ε > 0), a partir de um certo ponto na sequência, todos os termos estão muito próximos uns dos outros (a diferença entre eles é menor que ε).
Passo 3
Agora, para provar que toda sequência convergente é de Cauchy, vamos supor que a sequência converge para algum limite . Isso significa que, para o ε que a gente escolher, existe um número tal que para todo , a diferença .
Então, para :
Isso satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
Passo 4
Agora vamos para o item (b): Toda sequência de Cauchy é limitada.
Uma sequência limitada é aquela que todos os seus termos estão dentro de algum intervalo finito. Ou seja, existe um número M tal que para todo , .
Passo 5
Para provar isso, vamos usar a definição de sequência de Cauchy. Escolhemos . Então, existe um tal que para todo , .
Agora, vamos considerar o conjunto dos primeiros termos da sequência. Esse conjunto é finito, então existe um máximo entre eles, digamos .
Além disso, para todo , tomando , temos:
Então, podemos escolher , garantindo que para todo , .
Resposta
(a) Verdadeiro. Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Verdadeiro. Toda sequência de Cauchy é limitada.