Seja (xn) uma sequência de número reais. Ela se chama uma Sequência de Cauchy quando dado arbitrariamente um número real epsilon>0, pode-se obter um n0 in N tal que m>n0 e n>n0 implica que |xm-xn|. Com isso, verifique os itens abaixo:
(a) Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Toda sequência de Cauchy é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências de Cauchy e quer que a gente verifique dois itens:
(a) Se toda sequência que converge é de Cauchy;
(b) Se toda sequência de Cauchy é limitada.
Vamos precisar entender o que significa uma sequência convergente e uma sequência de Cauchy, além de saber o que é uma sequência limitada.

Passo 2

Vamos começar com o item (a): Toda sequência convergente é de Cauchy.
Primeiro, uma sequência convergente é aquela que tem um limite finito, ou seja, conforme a gente vai avançando na sequência, os termos ficam cada vez mais próximos de um certo número L.
Uma sequência de Cauchy é aquela onde, para qualquer diferença pequena que a gente escolher (ε > 0), a partir de um certo ponto na sequência, todos os termos estão muito próximos uns dos outros (a diferença entre eles é menor que ε).

Passo 3

Agora, para provar que toda sequência convergente é de Cauchy, vamos supor que a sequência |xm - xn| = |xm - L + L - xn| <= |xm - L| + |L - xn| < ε2 + ε2 = ε converge para algum limite . Isso significa que, para o ε que a gente escolher, existe um número tal que para todo , a diferença .
Então, para :
Isso satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

Passo 4

Agora vamos para o item (b): Toda sequência de Cauchy é limitada.
Uma sequência limitada é aquela que todos os seus termos estão dentro de algum intervalo finito. Ou seja, existe um número M tal que para todo , .

Passo 5

Para provar isso, vamos usar a definição de sequência de Cauchy. Escolhemos |xn - xn0| < 1 implies |xn| <= |xn0| + 1 = M2 . Então, existe um tal que para todo , .
Agora, vamos considerar o conjunto dos primeiros termos da sequência. Esse conjunto é finito, então existe um máximo entre eles, digamos .
Além disso, para todo , tomando , temos:
Então, podemos escolher , garantindo que para todo , .

Resposta

(a) Verdadeiro. Toda sequência convergente é de Cauchy.
(b) Verdadeiro. Toda sequência de Cauchy é limitada.

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