Determine os valores de alpha e beta para que:
lim x +infty[x^2+1x+1-alpha x-beta]=0
(R: alpha=1 ; beta=-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para encontrar os valores de alpha e beta que fazem com que a expressão:
lim x +infty[x^2+1x+1-alpha x-beta]=0
seja igual a zero. Isso envolve conceitos de limites e manipulação de funções polinomiais. Vamos precisar simplificar a expressão para descobrir os valores de alpha e beta que atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^2+1x+1. Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador.
Quando dividimos x^2 + 1 por x + 1, fazemos o seguinte:
  1. Divisão: Quanto precisamos multiplicar x (do denominador) para obter x^2? A resposta é x.
  2. Multiplicação: Agora, multiplicamos x por x + 1, que dá x^2 + x.
  3. Subtração: Subtraímos x^2 + x de x^2 + 1, resultando em -x + 1.
  4. Continuação: Agora, dividimos -x + 1 por x + 1. Quanto multiplicamos x para obter -x? É -1.
  5. Multiplicação final: Multiplicamos -1 por x + 1, resultando em -x - 1.
  6. Subtração final: Subtraímos -x - 1 de -x + 1, obtendo 2.
Então, podemos escrever:
x^2+1x+1 = x - 1 + 2x+1

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
lim x +infty[(x - 1 + 2x+1) - alpha x - beta]
Vamos reorganizar os termos:
lim x +infty[(1 - alpha)x + (-1 - beta) + 2x+1]

Passo 4

Para que o limite seja zero, cada parte da expressão deve se comportar de forma que, quando x tende ao infinito, o resultado final seja zero. Vamos analisar cada termo:
  1. Termo com x: (1 - alpha)x
    Para que esse termo não “explode” (tende ao infinito), precisamos que seu coeficiente seja zero:
    1 - alpha = 0 implies alpha = 1
  2. Termo constante: -1 - beta
    Esse termo deve ser igual a zero para não afetar o limite:
    -1 - beta = 0 implies beta = -1
  3. Termo com 2x+1:
    Quando x tende ao infinito, 2x+1 tende a zero, então não afeta o resultado final.

Passo 5

Resumindo, encontramos que:
alpha = 1 e beta = -1

Resposta

alpha = 1 e beta = -1

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