Determine os valores de e para que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para encontrar os valores de e que fazem com que a expressão:
seja igual a zero. Isso envolve conceitos de limites e manipulação de funções polinomiais. Vamos precisar simplificar a expressão para descobrir os valores de e que atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador.
Quando dividimos por , fazemos o seguinte:
  1. Divisão: Quanto precisamos multiplicar (do denominador) para obter ? A resposta é .
  2. Multiplicação: Agora, multiplicamos por , que dá .
  3. Subtração: Subtraímos de , resultando em .
  4. Continuação: Agora, dividimos por . Quanto multiplicamos para obter ? É .
  5. Multiplicação final: Multiplicamos por , resultando em .
  6. Subtração final: Subtraímos de , obtendo .
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
Vamos reorganizar os termos:

Passo 4

Para que o limite seja zero, cada parte da expressão deve se comportar de forma que, quando tende ao infinito, o resultado final seja zero. Vamos analisar cada termo:
  1. Termo com :
    Para que esse termo não “explode” (tende ao infinito), precisamos que seu coeficiente seja zero:
  2. Termo constante:
    Esse termo deve ser igual a zero para não afetar o limite:
  3. Termo com :
    Quando tende ao infinito, tende a zero, então não afeta o resultado final.

Passo 5

Resumindo, encontramos que:

Resposta

e

Exercícios relacionados

Prove, usando a definição de limite que .
Sendo , calcule e
Calcule: