Prove, usando a definição de limite que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
. Aqui estamos trabalhando com limites laterais, especificamente o limite à esquerda. Para resolver isso, vamos precisar da definição formal de limite à esquerda e de entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
se aproxima de 2 vindo pelos menores valores (ou seja, aproximando-se de 2 pelo lado esquerdo), os valores de
se aproximam de 3.
Na definição formal, isso se traduz em: para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Nosso objetivo agora é mostrar que, dado qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaz essa condição. Vamos escolher
.
Então, suponha que
. Com essa escolha, temos:
Isso mostra que sempre que
estiver dentro do intervalo
, os valores de
estarão dentro do intervalo
, ou seja, tão próximos de 3 quanto quisermos, dependendo de
.
Resposta
Portanto, provamos que
usando a definição de limite à esquerda.