Prove, usando a definição de limite que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que . Aqui estamos trabalhando com limites laterais, especificamente o limite à esquerda. Para resolver isso, vamos precisar da definição formal de limite à esquerda e de entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, conforme se aproxima de 2 vindo pelos menores valores (ou seja, aproximando-se de 2 pelo lado esquerdo), os valores de se aproximam de 3.
Na definição formal, isso se traduz em: para todo , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Nosso objetivo agora é mostrar que, dado qualquer , podemos encontrar um que satisfaz essa condição. Vamos escolher .
Então, suponha que . Com essa escolha, temos:
Isso mostra que sempre que estiver dentro do intervalo , os valores de estarão dentro do intervalo , ou seja, tão próximos de 3 quanto quisermos, dependendo de .

Resposta

Portanto, provamos que usando a definição de limite à esquerda.

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Sendo , calcule e
Seja a função tal que
Qual o valor de e de para ser contínua em e ?
Determine os valores de e para que: