Se, , determine e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite quando se aproxima de 1 na expressão que deve ser igual a 4. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente o racionalização de expressões que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para verificar se obtemos uma forma indeterminada. Substituindo:
Como o denominador é zero, para que o limite exista e seja finito, o numerador também deve ser zero. Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar mais uma equação envolvendo e , vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de 1, então podemos cancelar o fator . Para isso, vamos expandir o numerador próximo de .
Vamos considerar , onde tende a 0. Substituindo:
Sabemos que , então resta:
Portanto, a expressão racionalizada fica:

Passo 5

Agora, quando tende a 0, as raízes podem ser aproximadas:
Somando as aproximações:
Substituindo de volta:
Quando tende a 0, isso fica:
Sabemos que o limite deve ser igual a 4:

Passo 6

Com , voltamos à primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados

Determine os valores de e para que:
e
Calcule:
Determine os limites se:
Determine o valor de para que: