Se, lim x 1 (a+1) x+braiz3 x+1-raizx+3=4, determine a e b

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite quando se aproxima de 1 na expressão que deve ser igual a 4. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, especialmente o racionalização de expressões que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (a+1)(1) + braiz3(1)+1 - raiz1+3 = a + 1 + braiz4 - raiz4 = a + b + 12 - 2 = a + b + 10 na expressão para verificar se obtemos uma forma indeterminada. Substituindo:
a + b + 1 = 0 Rightarrow a + b = -1
Como o denominador é zero, para que o limite exista e seja finito, o numerador também deve ser zero. Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar mais uma equação envolvendo (a+1)x + braiz3x+1 - raizx+3 cdot raiz3x+1 + raizx+3raiz3x+1 + raizx+3 = [(a+1)x + b](raiz3x+1 + raizx+3)(3x+1) - (x+3) e (3x + 1) - (x + 3) = 2x - 2 = 2(x - 1) , vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador:
[(a+1)x + b](raiz3x+1 + raizx+3)2(x - 1)
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando [(a+1)(1 + h) + b] = (a + 1)(1) + (a + 1)h + b = a + 1 + (a + 1)h + b = (a + b + 1) + (a + 1)h se aproxima de 1, então podemos cancelar o fator (a + 1)h . Para isso, vamos expandir o numerador próximo de (a + 1)h (raiz3(1 + h)+1 + raiz(1 + h)+3)2h = (a + 1)(raiz4 + 3h + raiz4 + h)2 .
Vamos considerar , onde tende a 0. Substituindo:
Sabemos que , então resta:
Portanto, a expressão racionalizada fica:

Passo 5

Agora, quando raiz4 + 3h approx raiz4 + 3h2raiz4 = 2 + 3h4 tende a 0, as raízes podem ser aproximadas:
raiz4 + h approx raiz4 + h2raiz4 = 2 + h4
raiz4 + 3h + raiz4 + h approx (2 + 3h4) + (2 + h4) = 4 + h
Somando as aproximações:
(a + 1)(4 + h)2
Substituindo de volta:
(a + 1) cdot 42 = 2(a + 1)
Quando 2(a + 1) = 4 Rightarrow a + 1 = 2 Rightarrow a = 1 tende a 0, isso fica:
Sabemos que o limite deve ser igual a 4:

Passo 6

Com 1 + b = -1 Rightarrow b = -2 , voltamos à primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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