Discuta, em função dos parâmetros alpha e beta, os seguintes sistemas de equações lineares:
a) x+4 y+3 z & =10 2 x+7 y-2 z & =10 x+5 y+alpha z & =beta

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas x + 4 y + 3 z = 10 2x + 7 y - 2 z = 10 x + 5 y + alpha z = beta . As equações são:
Nosso objetivo é discutir o sistema em função dos parâmetros e . Isso significa que vamos analisar para quais valores de e o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos utilizar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes e o determinante para verificar se o sistema tem solução única. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & alpha
O determinante De dessa matriz nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução. Se Δ = 1 cdot (7 cdot alpha - (-2) cdot 5) - 4 cdot (2 cdot alpha - (-2) cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 5 - 7 cdot 1) , o sistema tem uma solução única. Se Δ = 1 cdot (7alpha + 10) - 4 cdot (2alpha + 2) + 3 cdot (10 - 7) , precisamos verificar se há infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos calcular o determinante Δ = 7alpha + 10 - 8alpha - 8 + 9 :
Δ = -alpha + 11
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, calculamos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, analisamos o valor do determinante -alpha + 11 neq 0 implies alpha neq 11 .
  1. Se -alpha + 11 = 0 implies alpha = 11 :
    Nesse caso, o sistema tem uma única solução para qualquer valor de .
  2. Se :
    Quando , o determinante é zero, e o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Para determinar isso, precisamos verificar a consistência das equações.

Passo 4

Vamos analisar o caso específico quando x + 4 y + 3 z = 10 2x + 7 y - 2 z = 10 x + 5 y + 11 z = beta .
Com 2(x + 4 y + 3 z) - (2x + 7 y - 2 z) = 2 cdot 10 - 10 , as equações se tornam:
2x + 8 y + 6 z - 2x - 7 y + 2 z = 20 - 10
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar 0x + y + 8 z = 10 :
y + 8 z = 10 (Equação 4)
(x + 5 y + 11 z) - (x + 4 y + 3 z) = beta - 10
0x + y + 8 z = beta - 10
y + 8 z = beta - 10 (Equação 5) çã
Agora, subtraímos a primeira equação da terceira para eliminar y + 8 z = 10 y + 8 z = beta - 10 :
10 = beta - 10 implies beta = 20
çã
Comparando as equações 4 e 5:
Para que essas equações sejam consistentes, os membros constantes devem ser iguais:

Passo 5

Portanto, quando :
  • Se :
    As equações são consistentes e dependentes, o que significa que o sistema possui infinitas soluções.
  • Se :
    As equações são inconsistentes, resultando em nenhuma solução.

Resposta

O sistema tem uma solução única para todo . Quando , o sistema possui infinitas soluções se e nenhuma solução se .

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