Discuta, em função dos parâmetros e , os seguintes sistemas de equações lineares:
a)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas . As equações são:
Nosso objetivo é discutir o sistema em função dos parâmetros e . Isso significa que vamos analisar para quais valores de e o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos utilizar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes e o determinante para verificar se o sistema tem solução única. A matriz dos coeficientes é:
O determinante dessa matriz nos ajuda a saber se o sistema tem uma única solução. Se , o sistema tem uma solução única. Se , precisamos verificar se há infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos calcular o determinante :
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, calculamos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, analisamos o valor do determinante .
  1. Se :
    Nesse caso, o sistema tem uma única solução para qualquer valor de .
  2. Se :
    Quando , o determinante é zero, e o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Para determinar isso, precisamos verificar a consistência das equações.

Passo 4

Vamos analisar o caso específico quando .
Com , as equações se tornam:
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda para eliminar :
çã
Agora, subtraímos a primeira equação da terceira para eliminar :
çã
Comparando as equações 4 e 5:
Para que essas equações sejam consistentes, os membros constantes devem ser iguais:

Passo 5

Portanto, quando :
  • Se :
    As equações são consistentes e dependentes, o que significa que o sistema possui infinitas soluções.
  • Se :
    As equações são inconsistentes, resultando em nenhuma solução.

Resposta

O sistema tem uma solução única para todo . Quando , o sistema possui infinitas soluções se e nenhuma solução se .

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i)
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f)
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h)
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l)