Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
i) l2 x1+x2+x3+x4=1 2 x1+x2-x3+x4=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica da álgebra linear para encontrar soluções de sistemas lineares. Aqui, temos duas equações com quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4), então vamos precisar organizar tudo em uma matriz e usar operações para simplificar e achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz para facilitar as operações.
Nosso sistema é:
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 + x2 - x3 + x4 = 3
A matriz aumentada fica assim:
2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 2 & 1 & -1 & 1 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz. O objetivo é conseguir um zero abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Podemos subtrair a primeira linha da segunda linha para eliminar o 2x1 da segunda equação.
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
Fazendo isso:
2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0 & -2 & 0 & | & 2

Passo 4

Agora, olhamos para a segunda linha. Ela ficou assim:
0x1 + 0x2 - 2x3 + 0x4 = 2
Podemos simplificar dividindo toda a linha por -2 para encontrar o valor de x3:
x3 = -1

Passo 5

Com o valor de x3 encontrado, voltamos para a primeira equação para expressar uma das outras variáveis em termos das demais. A primeira equação é:
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
Substituindo x3 = -1:
2x1 + x2 - 1 + x4 = 1 2x1 + x2 + x4 = 2
Podemos resolver para x2:
x2 = 2 - 2x1 - x4

Passo 6

Como temos quatro variáveis e apenas duas equações independentes, podemos escolher duas variáveis livres. Vamos deixar x1 e x4 como livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores reais.
Então, nossas soluções são:
x1 = t (onde t in R) x4 = s (onde s in R)
Substituindo na expressão de x2:
x2 = 2 - 2t - s
E já temos x3 = -1.

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = t x2 = 2 - 2t - s x3 = -1 x4 = s
Onde t e s são números reais quaisquer.

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