Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss, que é uma técnica da álgebra linear para encontrar soluções de sistemas lineares. Aqui, temos duas equações com quatro incógnitas ( , , , ), então vamos precisar organizar tudo em uma matriz e usar operações para simplificar e achar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz para facilitar as operações.
Nosso sistema é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar a matriz. O objetivo é conseguir um zero abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Podemos subtrair a primeira linha da segunda linha para eliminar o da segunda equação.
Fazendo isso:

Passo 4

Agora, olhamos para a segunda linha. Ela ficou assim:
Podemos simplificar dividindo toda a linha por -2 para encontrar o valor de :

Passo 5

Com o valor de encontrado, voltamos para a primeira equação para expressar uma das outras variáveis em termos das demais. A primeira equação é:
Substituindo :
Podemos resolver para :

Passo 6

Como temos quatro variáveis e apenas duas equações independentes, podemos escolher duas variáveis livres. Vamos deixar e como livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores reais.
Então, nossas soluções são:
Substituindo na expressão de :
E já temos .

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
Onde e são números reais quaisquer.

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f)
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a)
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h)