Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
h) l2 x+3 y+z=0 x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações pelo método de eliminação de Gauss. O que a gente precisa aqui são um pouco de álgebra linear, especificamente trabalhar com sistemas lineares. Vamos usar matrizes para simplificar as contas e eliminar variáveis até achar os valores que satisfazem todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o que está rolando e facilita a aplicação das operações de eliminação.
2 & 3 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar uma das variáveis. Vamos tentar eliminar o 2 times 1 & 1 & 1 & | & 0 = 2 & 2 & 2 & | & 0 da segunda equação. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 2 e depois subtrair a primeira linha dela.
Multiplicando a segunda linha por 2:
2 & 2 & 2 & | & 0 - 2 & 3 & 1 & | & 0 = 0 & -1 & 1 & | & 0
Agora, subtraindo a primeira linha da nova segunda linha:
2 & 3 & 1 & | & 0 0 & -1 & 1 & | & 0
Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. A segunda linha representa:
-1y + 1z = 0 Rightarrow y = z
Então, sabemos que . Vamos usar isso na primeira equação para encontrar .

Passo 5

Substituindo 2x + 3y + z = 0 Rightarrow 2x + 3z + z = 0 Rightarrow 2x + 4z = 0 por 2x = -4z Rightarrow x = -2z na primeira equação:
Resolvendo para :

Resposta

As soluções desse sistema são:
x = -2z, y = z
Onde (x, y, z) = (-2t, t, t) com t in R é um número real qualquer. Podemos escrever assim:

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