Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
l) ly1+y3+2 y4=0 y1+2 y2+y3+y4=1 y2+2 y4=8 y1+2 y3+y4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Eliminação de Gauss. Temos quatro equações com quatro incógnitas . A ideia é transformar o sistema numa forma mais simples, onde conseguimos encontrar os valores das variáveis passo a passo. Pra isso, a gente vai usar operações nas linhas da matriz aumentada do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & 2 & | & 8 1 & 0 & 2 & 1 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável. O símbolo “|” separa os coeficientes das constantes.

Passo 3

Vamos começar eliminando (1-1)y1 + (2-0)y2 + (1-1)y3 + (1-2)y4 = 1-0 das equações 2 e 4. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da quarta.
  • Linha 2 menos Linha 1:
0y1 + 2y2 + 0y3 - y4 = 1
(1-1)y1 + (0-0)y2 + (2-1)y3 + (1-2)y4 = 0-0
  • Linha 4 menos Linha 1:
0y1 + 0y2 + y3 - y4 = 0
1 & 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & 0 & -1 & | & 1 0 & 1 & 0 & 2 & | & 8 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar 0y1 + 2y2 + 0y3 - y4 = 1 da segunda linha. Primeiro, multiplicamos a terceira linha por 2 e subtraímos da segunda.
  • Linha 2:
0y1 + 2y2 + 0y3 + 4y4 = 16
  • 2 × Linha 3:
(0-0)y1 + (2-2)y2 + (0-0)y3 + (-1-4)y4 = 1-16
Subtraindo:
0y1 + 0y2 + 0y3 -5y4 = -15
-5y4 = -15 Rightarrow y4 = 3
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos y3 - y4 = 0 Rightarrow y3 = y4 = 3 , podemos voltar para a quarta linha para encontrar :

Passo 6

Com y2 + 2y4 = 8 Rightarrow y2 + 2 times 3 = 8 Rightarrow y2 = 8 - 6 = 2 e , vamos para a terceira linha para achar :

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira linha para encontrar y1 + y3 + 2y4 = 0 Rightarrow y1 + 3 + 2 times 3 = 0 Rightarrow y1 = -9 :

Resposta

A solução do sistema é:
y1 = -9 y2 = 2 y3 = 3 y4 = 3

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