Discutir o sistema linear em função do parâmetro . é compatível determinado, e se é incompatível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações lineares que depende de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma solução única (compatível determinado) e para quais valores ele não tem solução (incompatível). Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. O sistema dado é:
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz dos coeficientes (sem a coluna dos resultados) deve ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante ():
Passo 4
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Passo 5
Substituindo na expressão do determinante:
Passo 6
Para o sistema ser compatível determinado, precisamos que :
Ou seja, para qualquer valor de diferente de , o sistema terá uma solução única.
Passo 7
Agora, vamos verificar o caso onde . Substituindo na matriz aumentada:
Vamos tentar resolver esse sistema e ver se há inconsistências.
Passo 8
Ao resolver o sistema com , percebemos que as equações se tornam inconsistentes, ou seja, não há valores de , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Isso significa que, quando , o sistema é incompatível.
Resposta
Para , o sistema é compatível e determinado (tem solução única). Quando , o sistema é incompatível (não tem solução).