Discutir o sistema linear em função do parâmetro .
é compatível determinado, e se é incompatível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações lineares que depende de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma solução única (compatível determinado) e para quais valores ele não tem solução (incompatível). Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. O sistema dado é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz dos coeficientes (sem a coluna dos resultados) deve ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante ( ):

Passo 4

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:

Passo 5

Substituindo na expressão do determinante:

Passo 6

Para o sistema ser compatível determinado, precisamos que :
Ou seja, para qualquer valor de diferente de , o sistema terá uma solução única.

Passo 7

Agora, vamos verificar o caso onde . Substituindo na matriz aumentada:
Vamos tentar resolver esse sistema e ver se há inconsistências.

Passo 8

Ao resolver o sistema com , percebemos que as equações se tornam inconsistentes, ou seja, não há valores de , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Isso significa que, quando , o sistema é incompatível.

Resposta

Para , o sistema é compatível e determinado (tem solução única). Quando , o sistema é incompatível (não tem solução).

Exercícios relacionados

Se é o conjunto solução do sistema linear , então é igual a: A) ; B) 2 ; C) 3 ; D) 4 ; E) ; R: A.
Resolver por escalonamento a sistemas:
Compatível e
indeterminado.
Nos exercícios seguintes, aplicar o escalonamento e discutir, em função do parâmetro real : Se é compatível indeterminado; se é incompatível, e se a e é compatível determinado.
Resolver por escalonamento a sistemas:
. Compatível e determinado.