Discutir o sistema linear em função do parâmetro a in R:lx+2 y+z=4 a x+3 y-z=3 2 x-y+z=2.
R: a neq-83 é compatível determinado, e se a=-83 é incompatível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações lineares que depende de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma solução única (compatível determinado) e para quais valores ele não tem solução (incompatível). Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. O sistema dado é:
x + 2y + z = 4 a x + 3y - z = 3 2x - y + z = 2
A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & 1 & | & 4 a & 3 & -1 & | & 3 2 & -1 & 1 & | & 2

Passo 3

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz dos coeficientes (sem a coluna dos resultados) deve ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante ( De):

Passo 4

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
De
Calculando os menores:
3 & -1 -1 & 1 = (3)(1) - (-1)(-1) = 3 - 1 = 2
a & -1 2 & 1 = (a)(1) - (-1)(2) = a + 2
a & 3 2 & -1 = (a)(-1) - (3)(2) = -a - 6

Passo 5

Substituindo na expressão do determinante:
De

Passo 6

Para o sistema ser compatível determinado, precisamos que -3a - 8 neq 0 Rightarrow a neq -83 :
Ou seja, para qualquer valor de diferente de , o sistema terá uma solução única.

Passo 7

Agora, vamos verificar o caso onde 1 & 2 & 1 & | & 4 -83 & 3 & -1 & | & 3 2 & -1 & 1 & | & 2 . Substituindo na matriz aumentada:
Vamos tentar resolver esse sistema e ver se há inconsistências.

Passo 8

Ao resolver o sistema com , percebemos que as equações se tornam inconsistentes, ou seja, não há valores de , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Isso significa que, quando , o sistema é incompatível.

Resposta

Para , o sistema é compatível e determinado (tem solução única). Quando , o sistema é incompatível (não tem solução).

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