Nos exercícios seguintes, aplicar o escalonamento e discutir, em função do parâmetro real : Se é compatível indeterminado; se é incompatível, e se a e é compatível determinado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações que depende de um parâmetro real . Nosso objetivo é aplicar o escalonamento (ou seja, manipular as equações para facilitar a resolução) e ver como o valor de afeta as soluções do sistema. Especificamente, queremos mostrar que:
Se , o sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado).
Se , o sistema não tem nenhuma solução (incompatível).
Se e , o sistema tem uma única solução (compatível determinado).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível:
Compatível Determinado: O sistema tem uma única solução.
Compatível Indeterminado: O sistema tem infinitas soluções.
Incompatível: O sistema não tem solução.
Para analisar isso, vamos colocar o sistema numa forma mais simples usando o escalonamento.
Passo 3
Vamos supor que o sistema de equações seja o seguinte (como o enunciado não especifica, vou considerar um exemplo comum):
Aqui, é o parâmetro que vai influenciar as soluções do sistema.
Passo 4
Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz para a forma escalonada utilizando operações de linha.
Passo 5
Primeira Operação:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o na segunda equação.
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos analisar a segunda linha:
A partir disso, podemos ver que o sistema terá soluções diferentes dependendo do valor de :
Se (ou seja, ):
Podemos resolver para e, consequentemente, para , obtendo uma única solução.
Se (ou seja, ):
A segunda equação fica , que é impossível, significando que o sistema é incompatível.
Passo 7
No entanto, o enunciado fala sobre e . Vamos verificar isso:
Para :
A segunda linha fica .
Substituindo na primeira equação: .
Portanto, o sistema tem uma única solução, mas isso contraria o enunciado. Parece que precisamos ajustar o nosso sistema de exemplo.
Passo 8
Vamos considerar outro sistema que se alinha com o enunciado. Suponha:
Vamos repetir o processo de escalonamento para este sistema.
Passo 9
Representando na matriz aumentada:
Aplicamos a operação :
Passo 10
Agora, analisando a segunda linha:
Aqui temos:
Se ():
Podemos resolver para e depois para , obtendo uma única solução.
Se ():
A segunda equação fica , o que significa que temos uma equação redundante. Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
Passo 11
No entanto, o enunciado menciona e . É possível que o sistema original seja diferente. Sem o sistema exato, fica difícil alinhar perfeitamente com o enunciado. Mas, baseado no que fizemos, podemos concluir que o valor de influencia o número de soluções do sistema.
Resposta
Dependendo do valor de :
Se : O sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado).
Se : O sistema tem uma única solução (compatível determinado).
Nota: Para alinhar exatamente com o enunciado, o sistema de equações deve ser especificado. O exemplo utilizado aqui serve para ilustrar como o parâmetro afeta as soluções do sistema através do escalonamento.