Nos exercícios seguintes, aplicar o escalonamento e discutir, em função do parâmetro real R : Se a=1 é compatível indeterminado; se a=-2 é incompatível, e se a neq 1 e a neq-2 é compatível determinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações que depende de um parâmetro real . Nosso objetivo é aplicar o escalonamento (ou seja, manipular as equações para facilitar a resolução) e ver como o valor de afeta as soluções do sistema. Especificamente, queremos mostrar que:
  • Se , o sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado).
  • Se , o sistema não tem nenhuma solução (incompatível).
  • Se e , o sistema tem uma única solução (compatível determinado).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível:
  • Compatível Determinado: O sistema tem uma única solução.
  • Compatível Indeterminado: O sistema tem infinitas soluções.
  • Incompatível: O sistema não tem solução.
Para analisar isso, vamos colocar o sistema numa forma mais simples usando o escalonamento.

Passo 3

Vamos supor que o sistema de equações seja o seguinte (como o enunciado não especifica, vou considerar um exemplo comum):
x + y = 2 2x + a y = 5
Aqui, é o parâmetro que vai influenciar as soluções do sistema.

Passo 4

Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & | & 2 2 & a & | & 5
Nosso objetivo é transformar essa matriz para a forma escalonada utilizando operações de linha.

Passo 5

Primeira Operação:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o R2 = R2 - 2R1 na segunda equação.
1 & 1 & | & 2 0 & a - 2 & | & 1
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos analisar a segunda linha:
0x + (a - 2)y = 1
A partir disso, podemos ver que o sistema terá soluções diferentes dependendo do valor de :
  • Se (ou seja, ):
    Podemos resolver para e, consequentemente, para , obtendo uma única solução.
  • Se (ou seja, ):
    A segunda equação fica , que é impossível, significando que o sistema é incompatível.

Passo 7

No entanto, o enunciado fala sobre e . Vamos verificar isso:
  • Para :
    A segunda linha fica .
    Substituindo na primeira equação: .
    Portanto, o sistema tem uma única solução, mas isso contraria o enunciado. Parece que precisamos ajustar o nosso sistema de exemplo.

Passo 8

Vamos considerar outro sistema que se alinha com o enunciado. Suponha:
x + y = 2 2x + a y = 4
Vamos repetir o processo de escalonamento para este sistema.

Passo 9

Representando na matriz aumentada:
1 & 1 & | & 2 2 & a & | & 4
Aplicamos a operação 1 & 1 & | & 2 0 & a - 2 & | & 0 :

Passo 10

Agora, analisando a segunda linha:
0x + (a - 2)y = 0
Aqui temos:
  • Se ( ):
    Podemos resolver para e depois para , obtendo uma única solução.
  • Se ( ):
    A segunda equação fica , o que significa que temos uma equação redundante. Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.

Passo 11

No entanto, o enunciado menciona e . É possível que o sistema original seja diferente. Sem o sistema exato, fica difícil alinhar perfeitamente com o enunciado. Mas, baseado no que fizemos, podemos concluir que o valor de influencia o número de soluções do sistema.

Resposta

Dependendo do valor de :
  • Se : O sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado).
  • Se : O sistema tem uma única solução (compatível determinado).
Nota: Para alinhar exatamente com o enunciado, o sistema de equações deve ser especificado. O exemplo utilizado aqui serve para ilustrar como o parâmetro afeta as soluções do sistema através do escalonamento.

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