Nos exercícios seguintes, aplicar o escalonamento e discutir, em função do parâmetro real
: Se
é compatível indeterminado; se
é incompatível, e se a
e
é compatível determinado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações que depende de um parâmetro real
. Nosso objetivo é aplicar o escalonamento (ou seja, manipular as equações para facilitar a resolução) e ver como o valor de
afeta as soluções do sistema. Especificamente, queremos mostrar que:
- Se
, o sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado). - Se
, o sistema não tem nenhuma solução (incompatível). - Se
e , o sistema tem uma única solução (compatível determinado).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível:
- Compatível Determinado: O sistema tem uma única solução.
- Compatível Indeterminado: O sistema tem infinitas soluções.
- Incompatível: O sistema não tem solução.
Para analisar isso, vamos colocar o sistema numa forma mais simples usando o escalonamento.
Passo 3
Vamos supor que o sistema de equações seja o seguinte (como o enunciado não especifica, vou considerar um exemplo comum):
Aqui,
é o parâmetro que vai influenciar as soluções do sistema.
Passo 4
Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz para a forma escalonada utilizando operações de linha.
Passo 5
Primeira Operação:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o na segunda equação.
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, a matriz está quase na forma escalonada. Vamos analisar a segunda linha:
A partir disso, podemos ver que o sistema terá soluções diferentes dependendo do valor de
:
-
Se
(ou seja, ):
Podemos resolver parae, consequentemente, para , obtendo uma única solução. -
Se
(ou seja, ):
A segunda equação fica, que é impossível, significando que o sistema é incompatível.
Passo 7
No entanto, o enunciado fala sobre
e
. Vamos verificar isso:
- Para
:
A segunda linha fica.
Substituindo na primeira equação:.
Portanto, o sistema tem uma única solução, mas isso contraria o enunciado. Parece que precisamos ajustar o nosso sistema de exemplo.
Passo 8
Vamos considerar outro sistema que se alinha com o enunciado. Suponha:
Vamos repetir o processo de escalonamento para este sistema.
Passo 9
Representando na matriz aumentada:
Aplicamos a operação
:
Passo 10
Agora, analisando a segunda linha:
Aqui temos:
-
Se
( ):
Podemos resolver parae depois para , obtendo uma única solução. -
Se
( ):
A segunda equação fica, o que significa que temos uma equação redundante. Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
Passo 11
No entanto, o enunciado menciona
e
. É possível que o sistema original seja diferente. Sem o sistema exato, fica difícil alinhar perfeitamente com o enunciado. Mas, baseado no que fizemos, podemos concluir que o valor de
influencia o número de soluções do sistema.
Resposta
Dependendo do valor de
:
- Se
: O sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado). - Se
: O sistema tem uma única solução (compatível determinado).
Nota: Para alinhar exatamente com o enunciado, o sistema de equações deve ser especificado. O exemplo utilizado aqui serve para ilustrar como o parâmetro
afeta as soluções do sistema através do escalonamento.