Resolver por escalonamento a sistemas:
lx+2 y+z+t=5 2 x-y+3 t=4 x-5 y-z-2 t=-7 3 x+y-t=3 ; R:(1,1,1,1). Compatível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro variáveis: , , e . A gente vai usar o método de escalonamento, que é uma técnica de álgebra linear para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações nas linhas para chegar numa forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em forma de tabela. Ficaria assim:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 2 & -1 & 0 & 3 & | & 4 1 & -5 & -1 & -2 & | & -7 3 & 1 & 0 & -1 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz. O objetivo é fazer com que, abaixo de cada elemento principal (começando do canto superior esquerdo), tenhamos zeros, facilitando a resolução das variáveis uma por uma.
Primeiro, vamos eliminar o R2 = 2 & -1 & 0 & 3 & | & 4 - 2 times 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 = 0 & -5 & -2 & 1 & | & -6 da segunda linha, primeira coluna. Para isso, fazemos 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & -5 & -2 & 1 & | & -6 1 & -5 & -1 & -2 & | & -7 3 & 1 & 0 & -1 & | & 3 :
A matriz agora fica:

Passo 4

Próximo, vamos eliminar o R3 = 1 & -5 & -1 & -2 & | & -7 - 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 = 0 & -7 & -2 & -3 & | & -12 da terceira linha, primeira coluna. Fazemos 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & -5 & -2 & 1 & | & -6 0 & -7 & -2 & -3 & | & -12 3 & 1 & 0 & -1 & | & 3 :
A matriz fica:

Passo 5

Vamos eliminar o R4 = 3 & 1 & 0 & -1 & | & 3 - 3 times 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 = 0 & -5 & -3 & -4 & | & -12 da quarta linha, primeira coluna. Fazemos 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & -5 & -2 & 1 & | & -6 0 & -7 & -2 & -3 & | & -12 0 & -5 & -3 & -4 & | & -12 :
A matriz atualizada é:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Vamos fazer com que o segundo elemento da segunda linha seja R2 = 1-5 times 0 & -5 & -2 & 1 & | & -6 = 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 . Para isso, dividimos a segunda linha por 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 0 & -7 & -2 & -3 & | & -12 0 & -5 & -3 & -4 & | & -12 : :
A matriz fica:

Passo 7

Em seguida, vamos eliminar os R3 = 0 & -7 & -2 & -3 & | & -12 + 7 times 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 = 0 & 0 & 45 & -45 & | & -185 e R4 = 0 & -5 & -3 & -4 & | & -12 + 5 times 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 = 0 & 0 & -1 & -5 & | & -6 da segunda coluna nas linhas três e quatro. Fazemos:
  • 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 0 & 0 & 45 & -45 & | & -185 0 & 0 & -1 & -5 & | & -6
Calculando:
A matriz atualizada:

Passo 8

Vamos simplificar a terceira linha multiplicando por R3 = 54 times 0 & 0 & 45 & -45 & | & -185 = 0 & 0 & 1 & -1 & | & -92 para tornar o coeficiente de 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 0 & 0 & 1 & -1 & | & -92 0 & 0 & -1 & -5 & | & -6 igual a : :
A matriz fica:

Passo 9

Agora, vamos eliminar o R4 = 0 & 0 & -1 & -5 & | & -6 + 0 & 0 & 1 & -1 & | & -92 = 0 & 0 & 0 & -6 & | & -212 da quarta linha, terceira coluna. Fazemos 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 0 & 0 & 1 & -1 & | & -92 0 & 0 & 0 & -6 & | & -212 :
A matriz atualizada:

Passo 10

Vamos simplificar a quarta linha dividindo por R4 = 1-6 times 0 & 0 & 0 & -6 & | & -212 = 0 & 0 & 0 & 1 & | & 74 para isolar 1 & 2 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 25 & -15 & | & 65 0 & 0 & 1 & -1 & | & -92 0 & 0 & 0 & 1 & | & 74 : :
A matriz fica:

Passo 11

Agora que já temos t = 74 isolado, podemos começar a substituir os valores nas equações acima para encontrar as outras variáveis.
Começamos pela quarta linha:

Passo 12

Substituímos z - t = -92 z - 74 = -92 z = -92 + 74 = -184 + 74 = -114 na terceira linha para encontrar :

Passo 13

Agora, substituímos y + 25z - 15t = 65 y + 25 times (-114) - 15 times 74 = 65 y - 2220 - 720 = 65 y - 2920 = 2420 y = 2420 + 2920 = 5320 = 2.65 e na segunda linha para achar :

Passo 14

Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira linha para achar x + 2y + z + t = 5 x + 2 times 2.65 + (-114) + 74 = 5 x + 5.3 - 2.75 + 1.75 = 5 x + 4.3 = 5 x = 5 - 4.3 = 0.7 :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0.7, y = 2.65, z = -114, t = 74

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