Efetue os seguintes cálculos (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos, (iii) usando aritmética de arredondamento, com três algarismos. (iv) Calcule os erros relativos nas partes (ii) e (iii).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte exercício juntos! A questão pede para calcular a expressão de quatro maneiras diferentes:
  1. Exatamente: ou seja, sem nenhuma aproximação.
  2. Usando aritmética de truncamento, com três algarismos.
  3. Usando aritmética de arredondamento, com três algarismos.
  4. Calcular os erros relativos nas partes (ii) e (iii).
Para resolver isso, precisamos conhecer operações básicas com frações, além de entender o que são truncamento e arredondamento numérico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a expressão exatamente, sem nenhuma aproximação. Para isso, precisamos somar e , e depois subtrair .

Passo 3

Vamos somar e . Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 3 e 11 é 33. Então, ajustamos as frações:
Agora, somamos:

Passo 4

Agora, subtraímos do resultado que obtivemos. Para isso, novamente encontramos denominadores iguais. O MMC de 33 e 20 é 660. Ajustamos as frações:
Subtraindo:
Então, o resultado exato é .

Passo 5

Agora, vamos converter a fração exata para decimal para facilitar as próximas etapas:

Passo 6

Vamos para a parte (ii): aritmética de truncamento, com três algarismos. Truncar significa cortar a numeração após um certo número de dígitos sem arredondar. Aqui, queremos três algarismos significativos.
Começamos com o valor decimal exato . Truncando para três algarismos, ficamos com:

Passo 7

Agora, na parte (iii): aritmética de arredondamento, com três algarismos. Arredondar significa ajustar o último dígito com base no seguinte dígito.
Usando o valor exato , olhamos para o quarto algarismo após a vírgula, que é 3. Como 3 é menor que 5, mantemos o terceiro algarismo como está:

Passo 8

Apesar de, neste caso, o truncamento e o arredondamento resultarem no mesmo valor ( ), é importante saber que isso nem sempre acontece. Se o quarto algarismo fosse 5 ou maior, o arredondamento aumentaria o terceiro dígito em 1.

Passo 9

Finalmente, vamos calcular os erros relativos nas partes (ii) e (iii). O erro relativo mede a diferença entre o valor aproximado e o valor exato em relação ao valor exato.
A fórmula para o erro relativo é:
Vamos calcular para o truncamento:
E para o arredondamento:

Resposta

O cálculo exato da expressão é . Usando aritmética de truncamento com três algarismos, o resultado �� , e com arredondamento, também é . Os erros relativos nas partes de truncamento e arredondamento são aproximadamente .

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Esboce o gráfico das funções e dadas por: e .
Efetue os seguintes cálculos (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos, (iii) usando aritmética de arredondamento, com três algarismos. (iv) Calcule os erros relativos nas partes (ii) e (iii).
Usando a derivação implícita, obtenha a derivada das funções a seguir:
b)
Em que pontos da curva a tangente é paralela à reta ?