Esboce o gráfico das funções e dadas por: e .

Passo 1

Beleza, vamos esboçar os gráficos das funções , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de pontos importantes como raízes, máximos, mínimos, assíntotas e comportamento no infinito. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para encontrar esses pontos críticos e analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Vamos começar com a função . Primeiro, vamos identificar as raízes dessa função, ou seja, os valores de que fazem . Isso nos dará os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x.

Passo 3

Para encontrar as raízes de , resolvemos a equação . Essa é uma equação polinomial de quarto grau, que pode ser complexa para resolver diretamente. Entretanto, podemos tentar fatorar ou usar métodos numéricos para aproximar as soluções. Supondo que não haja raízes reais fáceis de identificar, podemos passar para a próxima etapa.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito e ao menos infinito. Como o termo de maior grau é , que é positivo, sabemos que: - Quando , . - Quando , . Isso significa que ambos os "braços" do gráfico apontam para cima.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de para determinar os pontos de máximo e mínimo da função. A derivada é dada por:

Passo 6

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 7

Para classificar esses pontos críticos, vamos analisar o sinal da derivada em torno deles: - Em , mudamos de crescente para crescente ou decrescente? Observando que muda de negativo para positivo, temos um mínimo. - Em , como o fator é sempre positivo, a derivada não muda de sinal, indicando um ponto de inflexão.

Passo 8

Vamos calcular os valores de nesses pontos críticos: - Em : - Em :

Passo 9

Com essas informações, já temos suficiente para esboçar o gráfico de . Sabemos que: - O gráfico tem um mínimo em . - Há um ponto de inflexão em . - Ambos os lados vão para conforme vai para .

Passo 10

Agora, vamos para a função . Primeiro, vamos observar os pontos onde o denominador é zero, pois esses seriam pontos onde a função não está definida.

Passo 11

O denominador nunca é zero para valores reais de , já que é sempre não negativo e, portanto, . Isso significa que a função está definida para todos os reais e não tem assíntotas verticais.

Passo 12

Vamos simplificar : Podemos dividir termo a termo:

Passo 13

Observando essa forma simplificada, podemos ver que à medida que , o termo tende a zero. Portanto: Isso indica que o gráfico tem uma assíntota horizontal em .

Passo 14

Vamos calcular a derivada de para encontrar os pontos de máximo e mínimo: Simplificando:

Passo 15

Igualando a derivada a zero: Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 16

Vamos calcular os valores de nesses pontos: - Em : - Em :

Passo 17

Analisando o sinal da derivada: - Entre e , a derivada é positiva, indicando que a função está crescendo. - Entre e , a derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo. - Além de , a derivada é negativa, mas se aproximando do comportamento assintótico.

Passo 18

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de : - A função tem uma assíntota horizontal em . - Ela atinge um mínimo em e um máximo em . - O gráfico sobe de até quando vai de a , e depois se aproxima de novamente para .

Passo 19

Finalmente, vamos analisar a função . Primeiro, simplificamos a expressão:

Passo 20

Vamos encontrar os pontos onde : Isso ocorre quando ou , ou seja, e .

Passo 21

Vamos calcular a derivada de :

Passo 22

Igualando a derivada a zero: Portanto, há um ponto crítico em .

Passo 23

Vamos calcular :

Passo 24

Analisando o comportamento da função: - Para , é negativo e também é negativo, então é positivo. - Para , é positivo e é negativo, então é negativo. - Para , domina pelo termo , que tende a .

Passo 25

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de : - A função cruza o eixo x em e . - Tem um ponto de mínimo em . - O gráfico passa de positivo para negativo em , atinge o mínimo em , e cresce novamente para conforme aumenta.

Resposta

Com base nas análises realizadas, os esboços dos gráficos das funções , e apresentam os seguintes comportamentos: - ****: Possui um mínimo em e um ponto de inflexão em , com ambos os lados do gráfico subindo para . - ****: Apresenta uma assíntota horizontal em , um mínimo em e um máximo em , com o gráfico subindo de até e depois se aproximando novamente de . - ****: Cruza o eixo x em e , tem um ponto de mínimo em , e o gráfico comporta-se de positivo para negativo em , atingindo o mínimo em e crescendo para conforme aumenta.

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Usando a derivação implícita, obtenha a derivada das funções a seguir: b)