Em que pontos da curva a tangente é paralela à reta ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos na curva onde a tangente é paralela à reta . Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando derivadas para encontrar a inclinação das tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta dada . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é a inclinação.
Então, a inclinação da reta é 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto . A inclinação da tangente é dada pela derivada da função em relação a .
Vamos calcular a derivada :

Passo 4

Como queremos que a tangente seja paralela à reta , as inclinações devem ser iguais. Portanto, igualamos a derivada à inclinação da reta:

Passo 5

Resolvemos a equação para encontrar os valores de :
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
onde , e .
Portanto, temos duas soluções:

Passo 6

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de substituindo na equação original da curva:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva onde a tangente é paralela à reta são e .

Exercícios relacionados

Usando a derivação implícita, obtenha a derivada das funções a seguir:
b)
Efetue os seguintes cálculos (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos, (iii) usando aritmética de arredondamento, com três algarismos. (iv) Calcule os erros relativos nas partes (ii) e (iii).
Use formato real longo de 64 bits para determinar 0 equivalente decimal dos seguintes números de máquina em ponto flutuante.
1100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
Calcule a derivada das funções a seguir:
(a) ;