Em que pontos da curva y=x^3-x^2+x a tangente é paralela à reta 2 x-y-7=0 ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos na curva onde a tangente é paralela à reta . Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando derivadas para encontrar a inclinação das tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a inclinação da reta dada 2x - y - 7 = 0 Rightarrow y = 2x - 7 . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é a inclinação.
Então, a inclinação da reta é 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente à curva y = x^3 - x^2 + x y' = dydx = 3x^2 - 2x + 1 em qualquer ponto . A inclinação da tangente é dada pela derivada da função em relação a .
Vamos calcular a derivada :

Passo 4

Como queremos que a tangente seja paralela à reta 3x^2 - 2x + 1 = 2 , as inclinações devem ser iguais. Portanto, igualamos a derivada à inclinação da reta:

Passo 5

Resolvemos a equação para encontrar os valores de 3x^2 - 2x + 1 - 2 = 0 3x^2 - 2x - 1 = 0 :
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 times 3 times (-1)2 times 3 x = 2 pm raiz4 + 126 x = 2 pm raiz166 x = 2 pm 46
onde x = 2 + 46 = 1 x = 2 - 46 = -13 , e .
Portanto, temos duas soluções:

Passo 6

Com os valores de y = (1)^3 - (1)^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 , encontramos os correspondentes valores de y = (-13)^3 - (-13)^2 + (-13) y = -127 - 19 - 13 y = -127 - 327 - 927 y = -1327 substituindo na equação original da curva:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na curva onde a tangente é paralela à reta são e .

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