Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. O quilo de amendoim custa R , o quilo da castanha de caju, , o quilo da castanha de caju, e o quilo da castanha-do pará, 20,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R . Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que vai fazer uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará para enlatados. Cada lata vai ter meio quilo dessa mistura e o custo total dos ingredientes por lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju precisa ser um terço da soma das outras duas castanhas. A gente vai usar matemática, mais especificamente sistemas de equações lineares, para descobrir quanto de cada ingrediente vai em cada lata.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar:
  • Seja a quantidade de amendoim em quilos.
  • Seja a quantidade de castanha de caju em quilos.
  • Seja a quantidade de castanha-do-pará em quilos.

Passo 3

Sabemos que cada lata deve ter meio quilo da mistura, então temos a primeira equação:
A + C + B = 0,5

Passo 4

Agora, vamos considerar o custo dos ingredientes. O amendoim custa R 5,00 por quilo, a castanha de caju R 20,00 por quilo e a castanha-do-pará R 16,00 por quilo O custo total por lata é Ré 5,75. Assim, a segunda equação fica:
5A + 20C + 16B = 5,75

Passo 5

A questão também diz que a quantidade de castanha de caju é igual a um terço da soma das outras duas castanhas. Então, temos mais uma equação:
C = A + B3

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos substituir a equação do A + A + B3 + B = 0,5 na primeira equação:
3A + (A + B) + 3B = 1,5
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
4A + 4B = 1,5
Simplificando:
A + B = 0,375
Dividindo tudo por 4:

Passo 7

Agora, sabemos que C = 0,3753 = 0,125 . Com :
Então, kg.

Passo 8

Com 5A + 20(0,125) + 16B = 5,75 e 5A + 2,5 + 16B = 5,75 , vamos substituir na segunda equação:
5A + 16B = 3,25
Calculando:
Subtraindo 2,5 de ambos os lados:

Passo 9

Agora, temos o sistema:
A + B = 0,375 5A + 16B = 3,25
Vamos resolver pela substituição. Da primeira equação:
A = 0,375 - B
Substituindo na segunda equação:
5(0,375 - B) + 16B = 3,25
Distribuindo:
1,875 - 5B + 16B = 3,25
Simplificando:
11B = 1,375
Então:
B = 1,37511 approx 0,125 kg

Passo 10

Agora que sabemos que A = 0,375 - 0,125 = 0,25 kg kg, podemos encontrar :

Resposta

Cada lata deve conter aproximadamente:
  • Amendoim: 250 gramas
  • Castanha de Caju: 125 gramas
  • Castanha-do-Pará: 125 gramas

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