Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. O quilo de amendoim custa
, o quilo da castanha de caju,
e o quilo da castanha-do pará,
. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de
. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que vai fazer uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará para enlatados. Cada lata vai ter meio quilo dessa mistura e o custo total dos ingredientes por lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju precisa ser um terço da soma das outras duas castanhas. A gente vai usar matemática, mais especificamente sistemas de equações lineares, para descobrir quanto de cada ingrediente vai em cada lata.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar:
- Seja
a quantidade de amendoim em quilos. - Seja
a quantidade de castanha de caju em quilos. - Seja
a quantidade de castanha-do-pará em quilos.
Passo 3
Sabemos que cada lata deve ter meio quilo da mistura, então temos a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos considerar o custo dos ingredientes. O amendoim custa R
20,00 por quilo e a castanha-do-pará R
5,75. Assim, a segunda equação fica:
Passo 5
A questão também diz que a quantidade de castanha de caju é igual a um terço da soma das outras duas castanhas. Então, temos mais uma equação:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos substituir a equação do
na primeira equação:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Dividindo tudo por 4:
Passo 7
Agora, sabemos que
. Com
:
Então,
kg.
Passo 8
Com
e
, vamos substituir na segunda equação:
Calculando:
Subtraindo 2,5 de ambos os lados:
Passo 9
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver pela substituição. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Agora que sabemos que
kg, podemos encontrar
:
Resposta
Cada lata deve conter aproximadamente:
- Amendoim: 250 gramas
- Castanha de Caju: 125 gramas
- Castanha-do-Pará: 125 gramas