O sistema lx+(c+1) y=0 c x+y=-1, onde c neq 0, admite uma solução (x, y) com x=1. Qual o valor de c ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações junto! O enunciado nos pede para encontrar o valor de x + (c+1)y = 0 c x + y = -1 tal que o sistema:
tem uma solução onde . Vamos usar conceitos de sistemas de equações lineares para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, já sabemos que c x + y = -1 . Então, vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar c cdot 1 + y = -1 c + y = -1 .
A segunda equação é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos isolar y = -1 - c nessa equação:
Então, descobrimos que .

Passo 4

Agora que temos x + (c+1)y = 0 em termos de 1 + (c + 1)(-1 - c) = 0 , vamos substituir e na primeira equação do sistema para encontrar o valor de .
A primeira equação é:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
1 + (c + 1)(-1 - c) = 0 1 + [ (c)(-1) + (c)(-c) + 1(-1) + 1(-c) ] = 0 1 + ( -c - c^2 -1 - c ) = 0 1 - c - c^2 -1 - c = 0 -2c - c^2 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação resultante para -2c - c^2 = 0 c^2 + 2c = 0 c(c + 2) = 0 :
c = 0 ou c = -2
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Passo 7

Mas o enunciado diz que c = -2 . Portanto, descartamos e ficamos com:

Resposta

O valor de é .

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