Uma empresa de engenharia está projetando um novo sistema de resfriamento para uma fábrica. O sistema utiliza um conjunto de ventiladores para dissipar o calor gerado pelas máquinas, e a empresa precisa determinar a quantidade ideal de ventiladores e a velocidade de cada um para minimizar o consumo de energia e garantir que a temperatura na fábrica não ultrapasse um valor crítico.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
  1. A temperatura dentro da fábrica, em função da quantidade de ventiladores e da velocidade dos ventiladores, é dada pela equação não linear:
Onde é a temperatura em graus Celsius, é o número de ventiladores e a velocidade de cada ventilador .
2. O consumo de energia do sistema de ventilação, em função de e , é dado por:
onde é o consumo de energia em .
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma empresa de engenharia quer otimizar o sistema de resfriamento de uma fábrica. Eles estão usando ventiladores para manter a temperatura controlada e querem descobrir quantos ventiladores usar (n) e qual a velocidade de cada um (v) para gastar o mínimo de energia possível, sem deixar a temperatura subir além de 25°C. Vamos precisar das equações que relacionam a temperatura e o consumo de energia com n e v para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas equações que temos:
  1. Temperatura (T):
    Essa equação mostra como a temperatura dentro da fábrica depende do número de ventiladores n e da velocidade v de cada ventilador.
  2. Consumo de Energia (E):
    Aqui, a energia consumida depende também de n e v.
Nosso objetivo é minimizar E(n, v) mantendo T(n, v) = 25°C.

Passo 3

Primeiro, vamos estabelecer a condição que a temperatura não ultrapasse 25°C:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos v, em função de n.

Passo 4

Subtraindo 80 de ambos os lados:
Agora, isolando :
Dividindo por 0,01:
Então,

Passo 5

Agora que temos v em termos de n, vamos substituir essa expressão na equação do consumo de energia E(n, v):
Isso nos dá a energia em função apenas de n.

Passo 6

Para minimizar E(n), precisamos derivar essa expressão em relação a n e encontrar onde a derivada é zero. No entanto, como essa expressão é um pouco complicada, vamos usar uma abordagem numérica para encontrar o valor de n que minimiza E(n).

Passo 7

Vamos tentar alguns valores de n para ver qual nos dá o menor consumo de energia:
  • n = 16:
    Isso não faz sentido porque a velocidade não pode ser negativa.
  • n = 49:
  • n = 100:
  • n = 121:
    Velocidade zero também não é viável.
Vamos tentar n = 144:
Agora, temos v ≈ 7,94 m/s.

Passo 8

Agora, vamos calcular o consumo de energia para n = 144 e v ≈ 7,94 m/s:
Vamos testar um valor maior de n para ver se a energia diminui:
  • n = 169:
    Então,
A energia aumentou, então n = 144 parece ser o melhor até agora.

Passo 9

Vamos confirmar se n = 121 seria viável mesmo com v = 0:
Apesar de v = 0 não ser viável, esse valor de energia nos dá uma ideia de que n = 144 com v ≈ 7,94 m/s é a melhor opção prática.

Resposta

Para minimizar o consumo de energia mantendo a temperatura em 25°C, a empresa deve utilizar 144 ventiladores com cada um operando a uma velocidade de aproximadamente 7,94 m/s. O consumo de energia será de 29.430 kWh.

Exercícios relacionados

Uma equipe de pesquisadores está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo e da temperatura. Para isso, coletaram dados experimentais sobre o número de bactérias em diferentes tempos e temperaturas. .
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Tempo (horas) Temperatura ) População de <br> Bactérias (milhões)
1 20 2
2 22 3,5
3 25 6
4 27 9,5
5 30 14
6 32 21
Os pesquisadores acreditam que o crescimento da população de bactérias pode ser modelada por uma função da seguinte forma:
Onde é a população de bacterias, o tempo (em horas) e , a temperatura. e são parâmetros que devem ser determinados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente para avaliar o quão bem o ajuste do modelo explica os dados observados.
Em uma fábrica a demanda semanal de trabalho se dá de acordo com a tabela:
Segunda 18
Terça 16
Quarta 16
Quinta 19
Sexta 19
Sábado 16
Domingo 11
Ou seja, para que a fábrica possa exercer suas atividades, na segunda-feira são necessários 18 funcionários, na terça 16 e assim sucessivamente.
Quantos funcionários devem ser contratados para que a demanda de trabalho semanal seja satisfeita sabendo que por questões sindicais, cada operário deve trabalhar 5 dias seguidos e folgar 2? Explique as considerações feitas.
Uma empresa petroquímica utiliza um reator industrial que precisa operar dentro de uma faixa de temperatura controlada para manter a eficiência de sua reação química. A empresa monitora a temperatura em intervalos regulares, mas devido a limitações de seus sensores, há lacunas nos dados. A empresa deseja utilizar interpolação polinomial para estimar os valores de temperatura em momentos não monitorados, e também prever possíveis flutuações de temperatura para evitar acidentes.
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Tempo Temperatura
0 450
10 470
20 500
30 530
40 560
50 590
a) Encontre a taxa de variação de temperatura com o tempo e determine os pontos em que esta taxa é máxima ou minima
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se : ou .