Uma empresa de engenharia está projetando um novo sistema de resfriamento para uma fábrica. O sistema utiliza um conjunto de ventiladores para dissipar o calor gerado pelas máquinas, e a empresa precisa determinar a quantidade ideal de ventiladores e a velocidade de cada um para minimizar o consumo de energia e garantir que a temperatura na fábrica não ultrapasse um valor crítico.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
  1. A temperatura T dentro da fábrica, em função da quantidade de ventiladores n e da velocidade v dos ventiladores, é dada pela equação não linear:
T(n, v)=80-5 n^1 / 2+0,01 v^3
Onde T(n, v) é a temperatura em graus Celsius, n é o número de ventiladores e v a velocidade de cada ventilador em m / s.
2. O consumo de energia E do sistema de ventilação, em função de n e v, é dado por:
E(n, v)=200 n+10 v^2
onde E(n, v) é o consumo de energia em k W h.
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de 25^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma empresa de engenharia quer otimizar o sistema de resfriamento de uma fábrica. Eles estão usando ventiladores para manter a temperatura controlada e querem descobrir quantos ventiladores usar (n) e qual a velocidade de cada um (v) para gastar o mínimo de energia possível, sem deixar a temperatura subir além de 25°C. Vamos precisar das equações que relacionam a temperatura e o consumo de energia com n e v para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas equações que temos:
  1. Temperatura (T):
    T(n, v) = 80 - 5 raizn + 0,01 v^3
    Essa equação mostra como a temperatura dentro da fábrica depende do número de ventiladores n e da velocidade v de cada ventilador.
  2. Consumo de Energia (E):
    E(n, v) = 200n + 10v^2
    Aqui, a energia consumida depende também de n e v.
Nosso objetivo é minimizar E(n, v) mantendo T(n, v) = 25°C.

Passo 3

Primeiro, vamos estabelecer a condição que a temperatura não ultrapasse 25°C:
80 - 5 raizn + 0,01 v^3 = 25
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos v, em função de n.

Passo 4

Subtraindo 80 de ambos os lados:
-5 raizn + 0,01 v^3 = -55
Agora, isolando :
0,01 v^3 = 5 raizn - 55
Dividindo por 0,01:
v^3 = 5 raizn - 550,01 = 500 raizn - 5500
Então,
v = raiz[3]500 raizn - 5500

Passo 5

Agora que temos v em termos de n, vamos substituir essa expressão na equação do consumo de energia E(n, v):
E(n) = 200n + 10(raiz[3]500 raizn - 5500)^2
Isso nos dá a energia em função apenas de n.

Passo 6

Para minimizar E(n), precisamos derivar essa expressão em relação a n e encontrar onde a derivada é zero. No entanto, como essa expressão é um pouco complicada, vamos usar uma abordagem numérica para encontrar o valor de n que minimiza E(n).

Passo 7

Vamos tentar alguns valores de n para ver qual nos dá o menor consumo de energia:
  • n = 16:
    v = raiz[3]500 times 4 - 5500 = raiz[3]2000 - 5500 = raiz[3]-3500
    Isso não faz sentido porque a velocidade não pode ser negativa.
  • n = 49:
    v = raiz[3]500 times 7 - 5500 = raiz[3]3500 - 5500 = raiz[3]-2000 (Ainda negativa)
  • n = 100:
    v = raiz[3]500 times 10 - 5500 = raiz[3]5000 - 5500 = raiz[3]-500 (Ainda negativa)
  • n = 121:
    v = raiz[3]500 times 11 - 5500 = raiz[3]5500 - 5500 = raiz[3]0 = 0
    Velocidade zero também não é viável.
Vamos tentar n = 144:
v = raiz[3]500 times 12 - 5500 = raiz[3]6000 - 5500 = raiz[3]500 approx 7,94 , m/s
Agora, temos v ≈ 7,94 m/s.

Passo 8

Agora, vamos calcular o consumo de energia para n = 144 e v ≈ 7,94 m/s:
E(144, 7,94) = 200 times 144 + 10 times (7,94)^2 = 28800 + 10 times 63 = 28800 + 630 = 29430 , kWh
Vamos testar um valor maior de n para ver se a energia diminui:
  • n = 169:
    v = raiz[3]500 times 13 - 5500 = raiz[3]6500 - 5500 = raiz[3]1000 = 10 , m/s
    Então,
    E(169, 10) = 200 times 169 + 10 times 10^2 = 33800 + 1000 = 34800 , kWh
A energia aumentou, então n = 144 parece ser o melhor até agora.

Passo 9

Vamos confirmar se n = 121 seria viável mesmo com v = 0:
E(121, 0) = 200 times 121 + 10 times 0^2 = 24200 + 0 = 24200 , kWh
Apesar de v = 0 não ser viável, esse valor de energia nos dá uma ideia de que n = 144 com v ≈ 7,94 m/s é a melhor opção prática.

Resposta

Para minimizar o consumo de energia mantendo a temperatura em 25°C, a empresa deve utilizar 144 ventiladores com cada um operando a uma velocidade de aproximadamente 7,94 m/s. O consumo de energia será de 29.430 kWh.

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