Uma empresa de engenharia está projetando um novo sistema de resfriamento para uma fábrica. O sistema utiliza um conjunto de ventiladores para dissipar o calor gerado pelas máquinas, e a empresa precisa determinar a quantidade ideal de ventiladores e a velocidade de cada um para minimizar o consumo de energia e garantir que a temperatura na fábrica não ultrapasse um valor crítico.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
- A temperatura
dentro da fábrica, em função da quantidade de ventiladores
e da velocidade
dos ventiladores, é dada pela equação não linear:
Onde
é a temperatura em graus Celsius,
é o número de ventiladores e
a velocidade de cada ventilador
.
2. O consumo de energia
do sistema de ventilação, em função de
e
, é dado por:
onde
é o consumo de energia em
.
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de
.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
2. O consumo de energia
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma empresa de engenharia quer otimizar o sistema de resfriamento de uma fábrica. Eles estão usando ventiladores para manter a temperatura controlada e querem descobrir quantos ventiladores usar (n) e qual a velocidade de cada um (v) para gastar o mínimo de energia possível, sem deixar a temperatura subir além de 25°C. Vamos precisar das equações que relacionam a temperatura e o consumo de energia com n e v para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas equações que temos:
-
Temperatura (T):Essa equação mostra como a temperatura dentro da fábrica depende do número de ventiladores n e da velocidade v de cada ventilador.
-
Consumo de Energia (E):Aqui, a energia consumida depende também de n e v.
Nosso objetivo é minimizar E(n, v) mantendo T(n, v) = 25°C.
Passo 3
Primeiro, vamos estabelecer a condição que a temperatura não ultrapasse 25°C:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos v, em função de n.
Passo 4
Subtraindo 80 de ambos os lados:
Agora, isolando v³:
Dividindo por 0,01:
Então,
Passo 5
Agora que temos v em termos de n, vamos substituir essa expressão na equação do consumo de energia E(n, v):
Isso nos dá a energia em função apenas de n.
Passo 6
Para minimizar E(n), precisamos derivar essa expressão em relação a n e encontrar onde a derivada é zero. No entanto, como essa expressão é um pouco complicada, vamos usar uma abordagem numérica para encontrar o valor de n que minimiza E(n).
Passo 7
Vamos tentar alguns valores de n para ver qual nos dá o menor consumo de energia:
-
n = 16:Isso não faz sentido porque a velocidade não pode ser negativa.
-
n = 49:
-
n = 100:
-
n = 121:Velocidade zero também não é viável.
Vamos tentar n = 144:
Agora, temos v ≈ 7,94 m/s.
Passo 8
Agora, vamos calcular o consumo de energia para n = 144 e v ≈ 7,94 m/s:
Vamos testar um valor maior de n para ver se a energia diminui:
-
n = 169:Então,
A energia aumentou, então n = 144 parece ser o melhor até agora.
Passo 9
Vamos confirmar se n = 121 seria viável mesmo com v = 0:
Apesar de v = 0 não ser viável, esse valor de energia nos dá uma ideia de que n = 144 com v ≈ 7,94 m/s é a melhor opção prática.
Resposta
Para minimizar o consumo de energia mantendo a temperatura em 25°C, a empresa deve utilizar 144 ventiladores com cada um operando a uma velocidade de aproximadamente 7,94 m/s. O consumo de energia será de 29.430 kWh.