Uma equipe de pesquisadores está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo e da temperatura. Para isso, coletaram dados experimentais sobre o número de bactérias em diferentes tempos e temperaturas. .
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Tempo (horas)
Temperatura )
População de <br> Bactérias (milhões)
1
20
2
2
22
3,5
3
25
6
4
27
9,5
5
30
14
6
32
21
Os pesquisadores acreditam que o crescimento da população de bactérias pode ser modelada por uma função da seguinte forma:
Onde é a população de bacterias, o tempo (em horas) e , a temperatura. e são parâmetros que devem ser determinados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente para avaliar o quão bem o ajuste do modelo explica os dados observados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como uma população de bactérias cresce ao longo do tempo e sob diferentes temperaturas. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
a) Quantas bactérias teremos após 7 horas.
b) Avaliar quão bem o modelo matemático proposto se ajusta aos dados que os pesquisadores coletaram.
Para isso, vamos precisar usar um pouco de matemática, principalmente modelo de regressão e cálculo do coeficiente de determinação . Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o modelo que os pesquisadores propuseram para o crescimento das bactérias:
Aqui:
é a população de bactérias em milhões.
é o tempo em horas.
é a temperatura em graus Celsius.
, e são parâmetros que precisamos determinar usando os dados fornecidos.
Passo 3
Para encontrar os valores de , e , vamos transformar a equação para facilitar a aplicação de métodos de regressão linear. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:
Isso nos dá uma equação linear onde:
é a variável dependente.
e são as variáveis independentes.
, e são os coeficientes a serem determinados.
Passo 4
Agora, vamos organizar os dados fornecidos para aplicar a regressão linear múltipla:
Tempo (horas)
Temperatura ()
(milhões)
1
20
2
0
0.693
2
22
3.5
0.693
1.253
3
25
6
1.099
1.792
4
27
9.5
1.386
2.251
5
30
14
1.609
2.639
6
32
21
1.792
3.044
Calculei e para cada linha da tabela.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar um sistema de equações para resolver , e . Normalmente, isso é feito usando métodos de regressão linear múltipla que minimizam o erro entre os valores observados e os previstos pelo modelo.
Para simplificar, vou apresentar os cálculos de regressão já realizados:
Após aplicar a regressão linear múltipla aos dados, obtemos:
Convertendo de volta para :
Então, os parâmetros são aproximadamente:
Passo 6
Agora que temos os parâmetros, podemos usar o modelo para prever a população de bactérias após 7 horas. Porém, precisamos saber a temperatura para . Observando a tabela, a temperatura aumenta à medida que o tempo passa. Vamos estimar que, seguindo a tendência dos dados, a temperatura aos 7 horas seja .
Passo 7
Aplicando os valores no modelo:
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando tudo:
Passo 8
Agora, para calcular o coeficiente , que nos indica quão bem o modelo se ajusta aos dados observados, usamos a fórmula:
Onde:
são os valores reais da população de bactérias.
são os valores estimados pelo modelo.
é a média das populações observadas.
Calculando para cada ponto usando os parâmetros encontrados e aplicando a fórmula acima, encontramos que é aproximadamente 0.98, indicando que o modelo explica 98% da variação nos dados observados, o que é um ajuste muito bom!
Resposta
a) Após 7 horas, a população de bactérias será aproximadamente 35,73 milhões.
b) O coeficiente de determinação é 0,98, indicando que o modelo explica 98% da variação observada nos dados.