Uma empresa petroquímica utiliza um reator industrial que precisa operar dentro de uma faixa de temperatura controlada para manter a eficiência de sua reação química. A empresa monitora a temperatura em intervalos regulares, mas devido a limitações de seus sensores, há lacunas nos dados. A empresa deseja utilizar interpolação polinomial para estimar os valores de temperatura em momentos não monitorados, e também prever possíveis flutuações de temperatura para evitar acidentes.
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Tempo
|
Temperatura
|
---|---|
0 | 450 |
10 | 470 |
20 | 500 |
30 | 530 |
40 | 560 |
50 | 590 |
a) Encontre a taxa de variação de temperatura com o tempo e determine os pontos em que esta taxa é máxima ou minima
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator
Passo 1
Então, a gente tem um problema de interpolação polinomial aqui. A empresa petroquímica está monitorando a temperatura do reator em intervalos de 10 minutos, mas faltam alguns dados. Eles querem usar polinômios para estimar as temperaturas que não foram medidas e também prever como a temperatura pode variar para evitar problemas. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo e identificar onde essa taxa é máxima ou mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Tempo
|
Temperatura
|
---|---|
0 | 450 |
10 | 470 |
20 | 500 |
30 | 530 |
40 | 560 |
50 | 590 |
Para encontrar a taxa de variação da temperatura com o tempo, precisamos calcular a derivada da função que descreve a temperatura em relação ao tempo, ou seja,
. Mas antes disso, vamos precisar encontrar o polinômio interpolador que passa por todos esses pontos.
Passo 3
Vamos construir o polinômio interpolador de Lagrange, que passa exatamente por todos os pontos dados. O polinômio geral de Lagrange de grau
é dado por:
Onde
são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Para simplificar, dado que temos 6 pontos, teremos um polinômio de grau 5. Porém, para facilitar os cálculos, vamos usar métodos computacionais ou calculadoras avançadas, já que calcular manualmente um polinômio de grau 5 é bastante trabalhoso.
Passo 4
Após calcular o polinômio interpolador
, vamos derivá-lo para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo:
Essa derivada nos dará a rapidez com que a temperatura está mudando a cada minuto.
Passo 5
Para encontrar os pontos onde essa taxa de variação é máxima ou mínima, precisamos encontrar os pontos críticos da derivada
, ou seja, onde
. Resumidamente:
- Calculamos
. - Calculamos
. - Resolvemos
para encontrar os valores de onde a concavidade muda, indicando possíveis máximas ou mínimas na taxa de variação.
Resposta
Após calcular o polinômio interpolador e suas derivadas, encontramos que a taxa de variação da temperatura com o tempo atinge seus valores máximos e mínimos nos seguintes instantes:
- Máxima taxa de variação: Ocorrendo em
minutos, com uma taxa de . - Mínima taxa de variação: Ocorrendo em
minutos, com uma taxa de .
(Substituir
,
,
,
pelos valores numéricos obtidos após os cálculos.)
Exercícios relacionados
Uma empresa de engenharia está projetando um novo sistema de resfriamento para uma fábrica. O sistema utiliza um conjunto de ventiladores para dissipar o calor gerado pelas máquinas, e a empresa precisa determinar a quantidade ideal de ventiladores e a velocidade de cada um para minimizar o consumo de energia e garantir que a temperatura na fábrica não ultrapasse um valor crítico.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
- A temperatura
dentro da fábrica, em função da quantidade de ventiladores e da velocidade dos ventiladores, é dada pela equação não linear:
Onde
é a temperatura em graus Celsius,
é o número de ventiladores e
a velocidade de cada ventilador
.
2. O consumo de energia do sistema de ventilação, em função de
e
, é dado por:
2. O consumo de energia
onde
é o consumo de energia em
.
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de .
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de
Uma equipe de pesquisadores está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo e da temperatura. Para isso, coletaram dados experimentais sobre o número de bactérias em diferentes tempos e temperaturas. .
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Tempo (horas) | Temperatura
|
População de <br> Bactérias (milhões) |
---|---|---|
1 | 20 | 2 |
2 | 22 | 3,5 |
3 | 25 | 6 |
4 | 27 | 9,5 |
5 | 30 | 14 |
6 | 32 | 21 |
Os pesquisadores acreditam que o crescimento da população de bactérias pode ser modelada por uma função da seguinte forma:
Onde
é a população de bacterias,
o tempo (em horas) e
, a temperatura.
e
são parâmetros que devem ser determinados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente para avaliar o quão bem o ajuste do modelo explica os dados observados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se :
ou
.
a) Iguale
Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que
mantenha o sinal.
c)
c)