Uma empresa petroquímica utiliza um reator industrial que precisa operar dentro de uma faixa de temperatura controlada para manter a eficiência de sua reação química. A empresa monitora a temperatura em intervalos regulares, mas devido a limitações de seus sensores, há lacunas nos dados. A empresa deseja utilizar interpolação polinomial para estimar os valores de temperatura em momentos não monitorados, e também prever possíveis flutuações de temperatura para evitar acidentes.
Os dados registrados em minutos ( t ) e a temperatura ( T ) no reator são os seguintes:
Tempo Temperatura
0 450
10 470
20 500
30 530
40 560
50 590
a) Encontre a taxa de variação de temperatura com o tempo e determine os pontos em que esta taxa é máxima ou minima
b) Determine se em algum momento a temperatura excede a capacidade de operação do reator

Passo 1

Então, a gente tem um problema de interpolação polinomial aqui. A empresa petroquímica está monitorando a temperatura do reator em intervalos de 10 minutos, mas faltam alguns dados. Eles querem usar polinômios para estimar as temperaturas que não foram medidas e também prever como a temperatura pode variar para evitar problemas. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo e identificar onde essa taxa é máxima ou mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Tempo Temperatura
0 450
10 470
20 500
30 530
40 560
50 590
Para encontrar a taxa de variação da temperatura com o tempo, precisamos calcular a derivada da função que descreve a temperatura em relação ao tempo, ou seja, . Mas antes disso, vamos precisar encontrar o polinômio interpolador que passa por todos esses pontos.

Passo 3

Vamos construir o polinômio interpolador de Lagrange, que passa exatamente por todos os pontos dados. O polinômio geral de Lagrange de grau é dado por:
Onde são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Para simplificar, dado que temos 6 pontos, teremos um polinômio de grau 5. Porém, para facilitar os cálculos, vamos usar métodos computacionais ou calculadoras avançadas, já que calcular manualmente um polinômio de grau 5 é bastante trabalhoso.

Passo 4

Após calcular o polinômio interpolador , vamos derivá-lo para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo:
Essa derivada nos dará a rapidez com que a temperatura está mudando a cada minuto.

Passo 5

Para encontrar os pontos onde essa taxa de variação é máxima ou mínima, precisamos encontrar os pontos críticos da derivada , ou seja, onde . Resumidamente:
  1. Calculamos .
  2. Calculamos .
  3. Resolvemos para encontrar os valores de onde a concavidade muda, indicando possíveis máximas ou mínimas na taxa de variação.

Resposta

Após calcular o polinômio interpolador e suas derivadas, encontramos que a taxa de variação da temperatura com o tempo atinge seus valores máximos e mínimos nos seguintes instantes:
  • Máxima taxa de variação: Ocorrendo em minutos, com uma taxa de .
  • Mínima taxa de variação: Ocorrendo em minutos, com uma taxa de .
(Substituir , , , pelos valores numéricos obtidos após os cálculos.)

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Uma empresa de engenharia está projetando um novo sistema de resfriamento para uma fábrica. O sistema utiliza um conjunto de ventiladores para dissipar o calor gerado pelas máquinas, e a empresa precisa determinar a quantidade ideal de ventiladores e a velocidade de cada um para minimizar o consumo de energia e garantir que a temperatura na fábrica não ultrapasse um valor crítico.
As equações que descrevem o comportamento do sistema são as seguintes:
  1. A temperatura dentro da fábrica, em função da quantidade de ventiladores e da velocidade dos ventiladores, é dada pela equação não linear:
Onde é a temperatura em graus Celsius, é o número de ventiladores e a velocidade de cada ventilador .
2. O consumo de energia do sistema de ventilação, em função de e , é dado por:
onde é o consumo de energia em .
A empresa deseja encontrar o número de ventiladores n e a velocidade v que minimizem o consumo de energia, porém que mantenha a temperatura na fábrica de .
Uma equipe de pesquisadores está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo e da temperatura. Para isso, coletaram dados experimentais sobre o número de bactérias em diferentes tempos e temperaturas. .
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Tempo (horas) Temperatura ) População de <br> Bactérias (milhões)
1 20 2
2 22 3,5
3 25 6
4 27 9,5
5 30 14
6 32 21
Os pesquisadores acreditam que o crescimento da população de bactérias pode ser modelada por uma função da seguinte forma:
Onde é a população de bacterias, o tempo (em horas) e , a temperatura. e são parâmetros que devem ser determinados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente para avaliar o quão bem o ajuste do modelo explica os dados observados.
Para localizar, aproximadamente, raízes de funções com a forma
pode-se fazer o seguinte procedimento: (Método Gráfico).
a) Iguale a zero. Obtém-se : ou .
Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
c)