(ENADE 2014) Uma função diferenciável,
, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de
até
, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos
e
, em que
. A equação diferencial que descreve essa situação é
(A)
(A)
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que é diferenciável, crescente a partir da origem e está no primeiro quadrante. A gente quer relacionar a área debaixo do gráfico dessa função, de
até
, com a área de um triângulo formado pelos pontos
,
e
, onde
. O conteúdo principal aqui envolve cálculo integral e diferencial. Vamos precisar entender como calcular áreas e como relacionar integrais com derivadas para montar nossa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área do triângulo. O triângulo tem base
e altura
. A fórmula da área do triângulo é:
Passo 3
Agora, a área debaixo do gráfico da função
de
até
é representada pela integral definida:
Segundo o enunciado, essa área é um quinto da área do triângulo. Então, podemos escrever:
Passo 4
Temos agora a relação:
Para avançar, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembrando que a derivada da integral de
a
de
é simplesmente
(Teorema Fundamental do Cálculo):
Então:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Subtraindo
de ambos os lados:
Rearranjando para deixar a equação diferencial na forma padrão:
Resposta
A equação diferencial que descreve a situação é:
Exercícios relacionados
Para cada função mostrada determine se a função é par, impar ou nenhuma delar:
Utilizando a regra do trapézio e a regra de
de Simpson, calcule a integral
com 4 subintervalos e 6 casas decimais quando for necessário.
Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
(a)
(a)
Supondo que
e
estejam representados corretamente, calcule o módulo do erro relativo de
. Considere RA como o erro relativo de arredondamento a cada operação.