(ENADE 2014) Uma função diferenciável, , crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de até , vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos e , em que . A equação diferencial que descreve essa situação é
(A)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que é diferenciável, crescente a partir da origem e está no primeiro quadrante. A gente quer relacionar a área debaixo do gráfico dessa função, de até , com a área de um triângulo formado pelos pontos , e , onde . O conteúdo principal aqui envolve cálculo integral e diferencial. Vamos precisar entender como calcular áreas e como relacionar integrais com derivadas para montar nossa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área do triângulo. O triângulo tem base e altura . A fórmula da área do triângulo é:
Áâ

Passo 3

Agora, a área debaixo do gráfico da função de até é representada pela integral definida:
Segundo o enunciado, essa área é um quinto da área do triângulo. Então, podemos escrever:

Passo 4

Temos agora a relação:
Para avançar, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a . Lembrando que a derivada da integral de a de é simplesmente (Teorema Fundamental do Cálculo):
Então:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Subtraindo de ambos os lados:
Rearranjando para deixar a equação diferencial na forma padrão:

Resposta

A equação diferencial que descreve a situação é:

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Para cada função mostrada determine se a função é par, impar ou nenhuma delar:
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(a)
Supondo que e estejam representados corretamente, calcule o módulo do erro relativo de . Considere RA como o erro relativo de arredondamento a cada operação.