(ENADE 2014) Uma função diferenciável, f, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até x, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0,0),(x, y) e (x, 0), em que y=f(x). A equação diferencial que descreve essa situação é
(A) x y^prime-9 y=x

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que é diferenciável, crescente a partir da origem e está no primeiro quadrante. A gente quer relacionar a área debaixo do gráfico dessa função, de até , com a área de um triângulo formado pelos pontos , e , onde . O conteúdo principal aqui envolve cálculo integral e diferencial. Vamos precisar entender como calcular áreas e como relacionar integrais com derivadas para montar nossa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área do triângulo. O triângulo tem base Área do triângulo = 12 times base times a e altura . A fórmula da área do triângulo é:
Áâ

Passo 3

Agora, a área debaixo do gráfico da função A(x) = integral0^x f(t) , dt de A(x) = 15 times 12 times x times f(x) = x f(x)10 até é representada pela integral definida:
Segundo o enunciado, essa área é um quinto da área do triângulo. Então, podemos escrever:

Passo 4

Temos agora a relação:
integral0^x f(t) , dt = x f(x)10
Para avançar, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a ddx ( integral0^x f(t) , dt ) = ddx ( x f(x)10 ) . Lembrando que a derivada da integral de f(x) = 110 ( f(x) + x f'(x) ) a de é simplesmente (Teorema Fundamental do Cálculo):
Então:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Multiplicando ambos os lados por 10 f(x) = f(x) + x f'(x) para eliminar a fração:
9 f(x) = x f'(x)
Subtraindo x f'(x) - 9 f(x) = 0 de ambos os lados:
Rearranjando para deixar a equação diferencial na forma padrão:

Resposta

A equação diferencial que descreve a situação é:
x y' - 9 y = 0

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