Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde e são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é identificar se essa equação é linear ou não linear e, em seguida, encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação diferencial linear e aplicar métodos de resolução apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma:
onde e são funções de .
Vamos reescrever a equação dada:
Dividindo ambos os lados por (já que e ):
Podemos reorganizar para:
Aqui, conseguimos colocá-la na forma linear padrão com:
Então, concluímos que a equação é linear.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é linear, vamos resolver usando o fator integrante. A fórmula para o fator integrante ( ) é:
Substituindo :
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos omitir o valor absoluto:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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(A)
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