Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde a, b e w são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
(a) a x y^prime=b y (a neq 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
a,x,y' = b,y (a neq 0)
Aqui, a, b e w são constantes. Nosso objetivo é identificar se essa equação é linear ou não linear e, em seguida, encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação diferencial linear e aplicar métodos de resolução apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma:
y' + P(x),y = Q(x)
onde P(x) e Q(x) são funções de x.
Vamos reescrever a equação dada:
a,x,y' = b,y
Dividindo ambos os lados por a,x (já que a neq 0 e x neq 0):
y' = ba,x,y
Podemos reorganizar para:
y' - ba,x,y = 0
Aqui, conseguimos colocá-la na forma linear padrão com:
P(x) = -ba,x e Q(x) = 0
Então, concluímos que a equação é linear.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é linear, vamos resolver usando o fator integrante. A fórmula para o fator integrante ( mu(x)) é:
mu(x) = e^integral P(x),dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -ba,x,dx = e^-ba ln|x| = |x|^-ba
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos omitir o valor absoluto:
mu(x) = x^-ba

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
x^-ba,y' - ba,x,x^-ba,y = 0
Isso simplifica para:
ddx( x^-ba,y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
x^-ba,y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y:
y = C,x^ba

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y = C,x^ba
onde C é uma constante arbitrária.

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