Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Aqui,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é identificar se essa equação é linear ou não linear e, em seguida, encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma equação diferencial linear e aplicar métodos de resolução apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é considerada linear se puder ser escrita na forma:
onde
e
são funções de
.
Vamos reescrever a equação dada:
Dividindo ambos os lados por
(já que
e
):
Podemos reorganizar para:
Aqui, conseguimos colocá-la na forma linear padrão com:
Então, concluímos que a equação é linear.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é linear, vamos resolver usando o fator integrante. A fórmula para o fator integrante (
) é:
Substituindo
:
Como estamos lidando com soluções gerais, podemos omitir o valor absoluto:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(ENADE 2014) Uma função diferenciável,
, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de
até
, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos
e
, em que
. A equação diferencial que descreve essa situação é
(A)
(A)
Para cada função mostrada determine se a função é par, impar ou nenhuma delar:
Supondo que
e
estejam representados corretamente, calcule o módulo do erro relativo de
. Considere RA como o erro relativo de arredondamento a cada operação.
Para a equação
e considerando o método do ponto fixo, faça uma análise da convergência, utilizando os critérios de convergência, de ambas as funções abaixo: