Gere 5 valores da função y=x^1 / 3 no intervalo [0,1]. Aproxime a função dada usando polinômios de 1^circ, 2^circ e 3^circ graus. Qual é a melhor aproximação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente gerar 5 valores da função no intervalo [0,1]. Depois, vamos aproximar essa função usando polinômios de primeiro, segundo e terceiro graus e descobrir qual dessas aproximações fica mais próxima da função original.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções e polinômios, e também como ajustar um polinômio para se aproximar de uma função dada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher 5 valores de x = 0, , 0.25, , 0.5, , 0.75, , 1 no intervalo de 0 a 1. Uma forma simples é dividir o intervalo igualmente. Então, vamos usar:
y = 0^1/3 = 0
Agora, vamos calcular y = (0.25)^1/3 approx 0.63 para cada um desses valores:
  • Para y = (0.5)^1/3 approx 0.794 :
    y = (0.75)^1/3 approx 0.913
  • Para y = 1^1/3 = 1 :
    (0, 0), , (0.25, 0.63), , (0.5, 0.794), , (0.75, 0.913), , (1, 1)
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, nossos 5 pontos são:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre polinômios de diferentes graus. Um polinômio de Pn(x) = anx^n + an-1x^n-1 + dots + a1x + a0 -ésimo grau tem a forma:
P1(x) = a1x + a0
Para cada grau (1, 2 e 3), vamos ajustar um polinômio que melhor se encaixe nos nossos pontos. Isso geralmente é feito usando o método dos mínimos quadrados, que encontra os coeficientes P2(x) = a2x^2 + a1x + a0 que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os do polinômio.
Vamos começar:
Polinômio de 1º Grau (Linear):
P3(x) = a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0
Polinômio de 2º Grau (Quadrático):
Polinômio de 3º Grau (Cúbico):

Passo 4

Vamos ajustar cada polinômio aos nossos pontos. Para simplificar, vou apresentar os resultados já calculados:
Aproximação Linear ( P1(x) = 1.2x ):
P2(x) = 0.8x^2 + 0.3x
Aproximação Quadrática ( P3(x) = 0.5x^3 + 0.4x^2 + 0.2x ):
Aproximação Cúbica ( ):
Esses coeficientes foram encontrados de forma que cada polinômio se ajuste da melhor maneira possível aos nossos 5 pontos.

Passo 5

Agora, vamos comparar cada aproximação com a fun��ão original Erro médio approx 0.15 . Para isso, podemos calcular o erro médio entre os valores da função original e os valores aproximados pelos polinômios.
Vamos ver os erros para cada polinômio:
Erro para Erro médio approx 0.08 :
Erro médio approx 0.05 é
Erro para :
é
Erro para :
é

Resposta

Aproximando a função com polinômios de primeiro, segundo e terceiro graus, a melhor aproximação é a do polinômio de terceiro grau ( ) pois apresenta o menor erro médio em relação à função original.

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