Gere 5 valores da função
no intervalo [0,1]. Aproxime a função dada usando polinômios de
e
graus. Qual é a melhor aproximação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente gerar 5 valores da função
no intervalo [0,1]. Depois, vamos aproximar essa função usando polinômios de primeiro, segundo e terceiro graus e descobrir qual dessas aproximações fica mais próxima da função original.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções e polinômios, e também como ajustar um polinômio para se aproximar de uma função dada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher 5 valores de
no intervalo de 0 a 1. Uma forma simples é dividir o intervalo igualmente. Então, vamos usar:
Agora, vamos calcular
para cada um desses valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, nossos 5 pontos são:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre polinômios de diferentes graus. Um polinômio de
-ésimo grau tem a forma:
Para cada grau (1, 2 e 3), vamos ajustar um polinômio que melhor se encaixe nos nossos pontos. Isso geralmente é feito usando o método dos mínimos quadrados, que encontra os coeficientes
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os do polinômio.
Vamos começar:
Polinômio de 1º Grau (Linear):
Polinômio de 2º Grau (Quadrático):
Polinômio de 3º Grau (Cúbico):
Passo 4
Vamos ajustar cada polinômio aos nossos pontos. Para simplificar, vou apresentar os resultados já calculados:
Aproximação Linear (
):
Aproximação Quadrática (
):
Aproximação Cúbica (
):
Esses coeficientes foram encontrados de forma que cada polinômio se ajuste da melhor maneira possível aos nossos 5 pontos.
Passo 5
Agora, vamos comparar cada aproximação com a fun��ão original
. Para isso, podemos calcular o erro médio entre os valores da função original e os valores aproximados pelos polinômios.
Vamos ver os erros para cada polinômio:
Erro para
:
Erro para
:
Erro para
:
Resposta
Aproximando a função
com polinômios de primeiro, segundo e terceiro graus, a melhor aproximação é a do polinômio de terceiro grau (
) pois apresenta o menor erro médio em relação à função original.