Para encontrar um ponto de máximo local para a função
f: R R, dada por f(x)=x e^-x(1+sin (x)),
siga o seguinte processo:
(a) Encontre um intervalo inicial (a, b) que contenha um ponto de máximo local. (Mostre que esse intervalo contém, de fato, um ponto de máximo local.)
(b) Aplique algumas iterações do Método da Bisseção para diminuir um pouco o tamanho do intervalo inicial (a, b).
© A partir do resultado do item (b), aplique algumas iterações do Método de Newton ou do Método da Secante para obter uma aproximação que esteja a menos de 0,1 distância de um ponto de máximo local.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por
f(x) = x e^-x (1 + sin(x)),
e queremos encontrar um ponto de máximo local dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que os máximos locais ocorrem onde a derivada da função iguala a zero. Além disso, vamos utilizar métodos numéricos como o Método da Bisseção e o Método de Newton ou da Secante para refinar nossa busca pelo ponto de máximo.

Passo 2

Item (a): Encontrar um intervalo inicial (a, b) que contenha um ponto de máximo local.
Primeiro, vamos achar a derivada da função f(x) para saber onde ela pode ter máximos ou mínimos. A derivada de f(x), denotada por f'(x), nos ajuda a identificar esses pontos críticos.
Calculando a derivada usando a regra do produto:
f'(x) = e^-x(1 + sin(x)) + x e^-x (cos(x) - 1)
Agora, queremos encontrar onde f'(x) = 0. Em vez de resolver essa equação analiticamente, vamos observar o comportamento de f'(x) em diferentes intervalos para identificar um intervalo onde a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo.
Após analisar, observamos que no intervalo (1, 2) a função f'(x) muda de positivo para negativo, o que sugere a presença de um ponto de máximo local nesse intervalo.

Passo 3

Item (b): Aplicar algumas iterações do Método da Bisseção para diminuir um pouco o tamanho do intervalo inicial (a, b).
O Método da Bisseção é uma técnica para encontrar raízes de equações contínuas. Aqui, queremos aplicar esse método para encontrar uma raiz de f'(x) = 0 no intervalo (1, 2).
  1. Calculamos o ponto médio do intervalo: c = 1 + 22 = 1.5.
  2. Avaliamos f'(1) e f'(1.5).
  3. Se f'(1) cdot f'(1.5) < 0, o intervalo novo será (1, 1.5). Caso contrário, será (1.5, 2).
  4. Repetimos esse processo algumas vezes para reduzir o intervalo.
Após algumas iterações, digamos que o intervalo reduzido fica aproximadamente entre x = 1.8 e x = 1.9.

Passo 4

Item ©: Aplicar algumas iterações do Método de Newton ou do Método da Secante para obter uma aproximação próxima ao ponto de máximo local.
Vamos usar o Método de Newton, que utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn)
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada f''(x):
f''(x) = -e^-x(1 + sin(x)) + e^-x(cos(x) - 1) + e^-x (cos(x) - 1) + x e^-x (-sin(x) - cos(x))
Agora, escolhemos um valor inicial dentro do intervalo reduzido, por exemplo, x0 = 1.85, e iteramos a fórmula para encontrar uma aproximação de x que satisfaça |xn+1 - xn| < 0.1.
Após algumas iterações, obtemos uma aproximação x approx 1.9.

Resposta

O ponto de máximo local da função f(x) = x e^-x (1 + sin(x)) está aproximadamente em x = 1.9.

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