Um pequeno agricultor tem um terreno onde ele planta feijão. Ao acordar na manhã em que ele ia fazer a plantação, ele descobriu que, durante a noite, uma nave alienígena tinha deixado parte do seu terreno implantável. O agricultor perguntou a sua filha (que é aluna do BCT ) e descobriu que a região plantável do seu terreno podia ser descrita como a região entre o eixo y=0 e a curva y=e^-x^2(1+cos (x)). Como o maquinário que o agricultor tem só permite que ele plante uma área retangular, ele gostaria de saber qual é a maior área que ele pode plantar. Ajude o agricultor a encontrar uma aproximação (com erro da ordem de centímetros) para o valor de x tal que a área do retângulo plantável cuja base (ao longo do eixo y=0 ) tem comprimento x é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um agricultor que descobriu que a área onde ele pode plantar feijão está limitada entre o eixo e a curva . Ele quer plantar um retângulo nessa área, onde a base do retângulo está ao longo do eixo e tem comprimento . Nosso objetivo é encontrar o valor de que maximiza a área desse retângulo. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a área do retângulo em termos de A(x) = x cdot e^-x^2(1 + cos(x)) . A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Aqui, a base é e a altura é a função que define a região plantável, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar o valor de A'(x) = ddx[ x cdot e^-x^2(1 + cos(x)) ] que maximiza a área , precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função em relação a é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função. Vamos calcular a derivada .

Passo 4

Usaremos a regra do produto para derivar A'(x) = ddx(x) cdot e^-x^2(1 + cos(x)) + x cdot ddx[ e^-x^2(1 + cos(x)) ] , já que temos o produto de duas funções: ddx(x) = 1 e ddx[ e^-x^2(1 + cos(x)) ] = e^-x^2(-2x)(1 + cos(x)) + e^-x^2(-sin(x)) .
A'(x) = e^-x^2(1 + cos(x)) + x [ e^-x^2(-2x)(1 + cos(x)) + e^-x^2(-sin(x)) ]
Calculando cada parte:
Então,

Passo 5

Simplificando a expressão da derivada:
A'(x) = e^-x^2(1 + cos(x)) - 2x^2e^-x^2(1 + cos(x)) - x e^-x^2 sin(x)
Fatorando A'(x) = e^-x^2 [ (1 + cos(x)) - 2x^2(1 + cos(x)) - x sin(x) ] :
A'(x) = e^-x^2 [ (1 + cos(x))(1 - 2x^2) - x sin(x) ]

Passo 6

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
A'(x) = 0 implies e^-x^2 [ (1 + cos(x))(1 - 2x^2) - x sin(x) ] = 0
Como (1 + cos(x))(1 - 2x^2) - x sin(x) = 0 nunca é zero para valores reais de , podemos simplificar para:

Passo 7

Essa equação não é fácil de resolver analiticamente devido à presença de termos algébricos e trigonométricos. Portanto, vamos utilizar métodos numéricos para encontrar uma aproximação do valor de que satisfaz essa equação. Um método comum é o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson.
Vamos tentar estimar graficamente ou por tentativa e erro. Sabemos que decresce rapidamente à medida que aumenta, e oscila entre -1 e 1. Portanto, esperamos que a solução esteja em um intervalo onde essas funções balanceiem para maximizar a área.

Passo 8

Vamos testar alguns valores de A'(0) = e^0(1 + 1)(1 - 0) - 0 = 2 > 0 para ver onde a derivada muda de sinal, indicando um máximo.
  1. Para A'(0.5) = e^-0.25 [ (1 + cos(0.5))(1 - 2(0.25)) - 0.5 sin(0.5) ] :
A'(0.5) approx 0.7788 [ (1 + 0.8776)(0.5) - 0.5 times 0.4794 ] approx 0.7788 (0.9388 - 0.2397) approx 0.7788 times 0.6991 approx 0.544
  1. Para A'(1) = e^-1 [ (1 + cos(1))(1 - 2) - 1 sin(1) ] approx 0.3679 [ (1 + 0.5403)(-1) - 0.8415 ] approx 0.3679 (-1.5403 - 0.8415) approx 0.3679 times (-2.3818) approx -0.875 :
Calculando:
  1. Para :
Observamos que a derivada passa de positiva para negativa entre e , indicando que o máximo está nesse intervalo.

Passo 9

Vamos refinar a busca entre A'(0.7) approx e^-0.49 [ (1 + cos(0.7))(1 - 2(0.49)) - 0.7 sin(0.7) ] approx 0.6126 [ (1 + 0.7648)(0.02) - 0.7 times 0.6442 ] approx 0.6126 (1.7648 times 0.02 - 0.4509) approx 0.6126 (0.0353 - 0.4509) approx 0.6126 times (-0.4156) approx -0.254 e A'(0.6) approx e^-0.36 [ (1 + cos(0.6))(1 - 2(0.36)) - 0.6 sin(0.6) ] approx 0.6977 [ (1 + 0.8253)(0.28) - 0.6 times 0.5646 ] approx 0.6977 (1.8253 times 0.28 - 0.3388) approx 0.6977 (0.5111 - 0.3388) approx 0.6977 times 0.1723 approx 0.1203 .
  1. Para :
Como já é negativo, o máximo está entre e .
  1. Para :
Aqui, a derivada é positiva. Então, o máximo está entre e .

Passo 10

Continuando a refinar:
  1. Para A'(0.65) approx e^-0.4225 [ (1 + cos(0.65))(1 - 2(0.4225)) - 0.65 sin(0.65) ] approx 0.6554 [ (1 + 0.7961)(0.155) - 0.65 times 0.6052 ] approx 0.6554 (1.7961 times 0.155 - 0.3934) approx 0.6554 (0.2781 - 0.3934) approx 0.6554 times (-0.1153) approx -0.0756 :
A'(0.625) approx e^-0.3906 [ (1 + cos(0.625))(1 - 2(0.3906)) - 0.625 sin(0.625) ] approx 0.6760 [ (1 + 0.8103)(0.2188) - 0.625 times 0.5806 ] approx 0.6760 (1.8103 times 0.2188 - 0.3629) approx 0.6760 (0.3953 - 0.3629) approx 0.6760 times 0.0324 approx 0.0219
  1. Para :
Agora, a derivada é positiva em e negativa em , então o máximo está entre e .

Passo 11

Vamos aproximar mais:
  1. Para A'(0.64) approx e^-0.4096 [ (1 + cos(0.64))(1 - 2(0.4096)) - 0.64 sin(0.64) ] approx 0.6640 [ (1 + 0.8041)(0.1808) - 0.64 times 0.5970 ] approx 0.6640 (1.8041 times 0.1808 - 0.3821) approx 0.6640 (0.3258 - 0.3821) approx 0.6640 times (-0.0563) approx -0.0374 :
A'(0.63) approx e^-0.3969 [ (1 + cos(0.63))(1 - 2(0.3969)) - 0.63 sin(0.63) ] approx 0.6723 [ (1 + 0.8090)(0.2062) - 0.63 times 0.5873 ] approx 0.6723 (1.8090 times 0.2062 - 0.3702) approx 0.6723 (0.3727 - 0.3702) approx 0.6723 times 0.0025 approx 0.0017
  1. Para A'(0.635) approx e^-0.4032 [ (1 + cos(0.635))(1 - 2(0.4032)) - 0.635 sin(0.635) ] approx 0.6675 [ (1 + 0.8060)(0.1936) - 0.635 times 0.5930 ] approx 0.6675 (1.8060 times 0.1936 - 0.3767) approx 0.6675 (0.3491 - 0.3767) approx 0.6675 times (-0.0276) approx -0.0184 :
  1. Para :
Vemos que em , a derivada está quase zero (0.0017) e em , está ligeiramente negativa (-0.0184). Portanto, o ponto onde a derivada é zero está muito próximo de .

Resposta

Com base nos cálculos, o valor de que maximiza a área plantável é aproximadamente metros (63 centímetros).

Exercícios relacionados