Um pequeno agricultor tem um terreno onde ele planta feijão. Ao acordar na manhã em que ele ia fazer a plantação, ele descobriu que, durante a noite, uma nave alienígena tinha deixado parte do seu terreno implantável. O agricultor perguntou a sua filha (que é aluna do BCT ) e descobriu que a região plantável do seu terreno podia ser descrita como a região entre o eixo
e a curva
. Como o maquinário que o agricultor tem só permite que ele plante uma área retangular, ele gostaria de saber qual é a maior área que ele pode plantar. Ajude o agricultor a encontrar uma aproximação (com erro da ordem de centímetros) para o valor de
tal que a área do retângulo plantável cuja base (ao longo do eixo
) tem comprimento
é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um agricultor que descobriu que a área onde ele pode plantar feijão está limitada entre o eixo
e a curva
. Ele quer plantar um retângulo nessa área, onde a base do retângulo está ao longo do eixo
e tem comprimento
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza a área desse retângulo. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a área do retângulo em termos de
. A área
de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Aqui, a base é
e a altura é a função que define a região plantável, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza a área
, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função em relação a
é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função. Vamos calcular a derivada
.
Passo 4
Usaremos a regra do produto para derivar
, já que temos o produto de duas funções:
e
.
Calculando cada parte:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão da derivada:
Fatorando
:
Passo 6
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero para valores reais de
, podemos simplificar para:
Passo 7
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente devido à presença de termos algébricos e trigonométricos. Portanto, vamos utilizar métodos numéricos para encontrar uma aproximação do valor de
que satisfaz essa equação. Um método comum é o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson.
Vamos tentar estimar graficamente ou por tentativa e erro. Sabemos que
decresce rapidamente à medida que
aumenta, e
oscila entre -1 e 1. Portanto, esperamos que a solução esteja em um intervalo onde essas funções balanceiem para maximizar a área.
Passo 8
Vamos testar alguns valores de
para ver onde a derivada muda de sinal, indicando um máximo.
- Para
:
- Para
:
Calculando:
- Para
:
Observamos que a derivada passa de positiva para negativa entre
e
, indicando que o máximo está nesse intervalo.
Passo 9
Vamos refinar a busca entre
e
.
- Para
:
Como já é negativo, o máximo está entre
e
.
- Para
:
Aqui, a derivada é positiva. Então, o máximo está entre
e
.
Passo 10
Continuando a refinar:
- Para
:
- Para
:
Agora, a derivada é positiva em
e negativa em
, então o máximo está entre
e
.
Passo 11
Vamos aproximar mais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que em
, a derivada está quase zero (0.0017) e em
, está ligeiramente negativa (-0.0184). Portanto, o ponto onde a derivada é zero está muito próximo de
.
Resposta
Com base nos cálculos, o valor de
que maximiza a área plantável é aproximadamente
metros (63 centímetros).
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19,625
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onde
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Converta para a base binária os seguintes números decimais:
1979
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