Um pequeno agricultor tem um terreno onde ele planta feijão. Ao acordar na manhã em que ele ia fazer a plantação, ele descobriu que, durante a noite, uma nave alienígena tinha deixado parte do seu terreno implantável. O agricultor perguntou a sua filha (que é aluna do BCT ) e descobriu que a região plantável do seu terreno podia ser descrita como a região entre o eixo e a curva . Como o maquinário que o agricultor tem só permite que ele plante uma área retangular, ele gostaria de saber qual é a maior área que ele pode plantar. Ajude o agricultor a encontrar uma aproximação (com erro da ordem de centímetros) para o valor de tal que a área do retângulo plantável cuja base (ao longo do eixo ) tem comprimento é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um agricultor que descobriu que a área onde ele pode plantar feijão está limitada entre o eixo e a curva . Ele quer plantar um retângulo nessa área, onde a base do retângulo está ao longo do eixo e tem comprimento . Nosso objetivo é encontrar o valor de que maximiza a área desse retângulo. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a área do retângulo em termos de . A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Aqui, a base é e a altura é a função que define a região plantável, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza a área , precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função em relação a é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função. Vamos calcular a derivada .

Passo 4

Usaremos a regra do produto para derivar , já que temos o produto de duas funções: e .
Calculando cada parte:
Então,

Passo 5

Simplificando a expressão da derivada:
Fatorando :

Passo 6

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero para valores reais de , podemos simplificar para:

Passo 7

Essa equação não é fácil de resolver analiticamente devido à presença de termos algébricos e trigonométricos. Portanto, vamos utilizar métodos numéricos para encontrar uma aproximação do valor de que satisfaz essa equação. Um método comum é o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson.
Vamos tentar estimar graficamente ou por tentativa e erro. Sabemos que decresce rapidamente à medida que aumenta, e oscila entre -1 e 1. Portanto, esperamos que a solução esteja em um intervalo onde essas funções balanceiem para maximizar a área.

Passo 8

Vamos testar alguns valores de para ver onde a derivada muda de sinal, indicando um máximo.
  1. Para :
  1. Para :
Calculando:
  1. Para :
Observamos que a derivada passa de positiva para negativa entre e , indicando que o máximo está nesse intervalo.

Passo 9

Vamos refinar a busca entre e .
  1. Para :
Como já é negativo, o máximo está entre e .
  1. Para :
Aqui, a derivada é positiva. Então, o máximo está entre e .

Passo 10

Continuando a refinar:
  1. Para :
  1. Para :
Agora, a derivada é positiva em e negativa em , então o máximo está entre e .

Passo 11

Vamos aproximar mais:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Vemos que em , a derivada está quase zero (0.0017) e em , está ligeiramente negativa (-0.0184). Portanto, o ponto onde a derivada é zero está muito próximo de .

Resposta

Com base nos cálculos, o valor de que maximiza a área plantável é aproximadamente metros (63 centímetros).

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