Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^5+x^4-8 x^3-16 x^2+7 x+15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio . Para isso, vamos usar conceitos de polinômios e raízes. Vamos precisar aplicar o Teorema das Raízes Racionais e fazer algumas divisões sintéticas para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que as raízes racionais de um polinômio são da forma , onde é um divisor do termo constante e é um divisor do coeficiente líder.
No nosso caso:
  • Termo constante: 15
  • Coeficiente líder: 1
Então, os divisores de 15 são . Como o coeficiente líder é 1, as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio p(1) = 1^5 + 1^4 - 8 cdot 1^3 - 16 cdot 1^2 + 7 cdot 1 + 15 = 1 + 1 - 8 - 16 + 7 + 15 = 0 .
Vamos começar com :
Como , é uma raiz!

Passo 4

Agora que encontramos p(x) = (x - 1)(x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 22x - 15) como raiz, vamos fatorar o polinômio dividindo por usando a divisão sintética.
Dividindo por , obtemos:

Passo 5

Vamos repetir o processo com o polinômio resultante q(3) = 3^4 + 2 cdot 3^3 - 6 cdot 3^2 - 22 cdot 3 - 15 = 81 + 54 - 54 - 66 - 15 = 0 .
Novamente, aplicando o Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são .
Vamos testar :
Então, é outra raiz!

Passo 6

Agora, vamos fatorar q(x) = (x - 3)(x^3 + 5x^2 + 9x + 5) dividindo por :

Passo 7

Continuando com o polinômio r(-1) = (-1)^3 + 5 cdot (-1)^2 + 9 cdot (-1) + 5 = -1 + 5 - 9 + 5 = 0 , aplicamos novamente o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são .
Testando :
Então, é mais uma raiz!

Passo 8

Vamos fatorar r(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 5) dividindo por :

Passo 9

Agora, temos o polinômio quadrático x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Para encontrar suas raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde x = -4 pm raiz-42 = -4 pm 2i2 = -2 pm i , , e .
Calculando o discriminante:
Como , as raízes serão complexas:

Resposta

As raízes do polinômio são:
  • Reais:
  • Complexas:

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