Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=3 x^3-4 x^2-5 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio . Isso está relacionado ao estudo de polinômios e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e encontrar os valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar possíveis raízes racionais do polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que as raízes racionais possíveis são as frações formadas pelos divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 1 e o coeficiente líder é 3. Então, as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo p(1) = 3(1)^3 - 4(1)^2 - 5(1) + 1 = 3 - 4 - 5 + 1 = -5 neq 0 no polinômio e ver se obtemos zero.
Para p(-1) = 3(-1)^3 - 4(-1)^2 - 5(-1) + 1 = -3 - 4 + 5 + 1 = -1 neq 0 :
p(13) = 3(13)^3 - 4(13)^2 - 5(13) + 1 = 3(127) - 4(19) - 53 + 1 = 19 - 49 - 53 + 1 = -39 - 159 + 99 = -99 = -1 neq 0
Não é raiz.
Para p(-13) = 3(-13)^3 - 4(-13)^2 - 5(-13) + 1 = 3(-127) - 4(19) + 53 + 1 = -19 - 49 + 159 + 99 = -5 + 15 + 99 = 199 neq 0 :
Não é raiz.
Para :
Não é raiz.
Para :
Também não é raiz.

Passo 4

Como nenhuma das possíveis raízes racionais funcionou, precisamos tentar outro método. Vamos usar o Método de Fatoração por Agrupamento ou tentar identificar uma raiz real de outra forma, possivelmente com aproximações gráficas ou o uso de derivadas para localizar as raízes.
Vamos tentar fatorar o polinômio agrupando os termos:
p(x) = 3x^3 - 4x^2 - 5x + 1 = (3x^3 - 4x^2) + (-5x +1) = x^2(3x -4) -1(5x -1)
Não conseguimos fatorar diretamente dessa forma. Então, vamos tentar encontrar uma raiz real usando gráficos ou métodos numéricos. Suponhamos que a função cruza o eixo x em três pontos, já que é um polinômio de terceiro grau.

Passo 5

Para localizar as raízes de forma mais precisa, podemos usar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para aproximar as raízes de uma função. No entanto, isso pode ser complexo sem uma calculadora. Alternativamente, podemos tentar identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos avaliar p(0) = 1 em alguns valores de p(1) = -5 :
Para p(2) = 3(8) - 4(4) - 5(2) +1 = 24 - 16 -10 +1 = -1 :
p(3) = 3(27) - 4(9) -5(3)+1 = 81 -36 -15 +1 = 31
Positivo.
Para p(-1) = -3 -4 +5 +1 = -1 :
p(-2) = 3(-8) -4(4) -5(-2)+1 = -24 -16 +10 +1 = -29
Negativo.
Como houve uma mudança de sinal entre e , há uma raiz nesse intervalo.
Para :
Ainda negativo.
Para :
Positivo.
Mudança de sinal entre e , indicando outra raiz nesse intervalo.
Para :
Negativo.
Para :
Negativo.
Não há mudança de sinal entre e , então não há raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora que sabemos onde estão as raízes (entre 3x^3 -4x^2 -5x +1 = (x -1)(3x^2 -x -1) e 3x^2 -x -1 = 0 , e entre x = -b pm raizb^2 -4ac2a = 1 pm raiz1 +126 = 1 pm raiz136 e ), precisamos encontrar uma terceira raiz, já que o polinômio é de terceiro grau. Sabemos que o número de raízes reais é igual ao grau do polinômio, contando multiplicidades.
Vamos usar a Divisão Sintética para simplificar o polinômio uma vez que encontramos uma raiz aproximada. Vamos assumir que uma das raízes está próxima de .
Dividindo por :
Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático :
Usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As raízes do polinômio x = 1, x = 1 + raiz136, x = 1 - raiz136 são:

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