Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio
. Isso está relacionado ao estudo de polinômios e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar possíveis raízes racionais do polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que as raízes racionais possíveis são as frações formadas pelos divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 1 e o coeficiente líder é 3. Então, as possíveis raízes racionais são
.
Passo 3
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo
no polinômio e ver se obtemos zero.
Para
:
Não é raiz.
Para
:
Não é raiz.
Para
:
Não é raiz.
Para
:
Também não é raiz.
Passo 4
Como nenhuma das possíveis raízes racionais funcionou, precisamos tentar outro método. Vamos usar o Método de Fatoração por Agrupamento ou tentar identificar uma raiz real de outra forma, possivelmente com aproximações gráficas ou o uso de derivadas para localizar as raízes.
Vamos tentar fatorar o polinômio agrupando os termos:
Não conseguimos fatorar diretamente dessa forma. Então, vamos tentar encontrar uma raiz real usando gráficos ou métodos numéricos. Suponhamos que a função cruza o eixo x em três pontos, já que é um polinômio de terceiro grau.
Passo 5
Para localizar as raízes de forma mais precisa, podemos usar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para aproximar as raízes de uma função. No entanto, isso pode ser complexo sem uma calculadora. Alternativamente, podemos tentar identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos avaliar
em alguns valores de
:
Para
:
Positivo.
Para
:
Negativo.
Como houve uma mudança de sinal entre
e
, há uma raiz nesse intervalo.
Para
:
Ainda negativo.
Para
:
Positivo.
Mudança de sinal entre
e
, indicando outra raiz nesse intervalo.
Para
:
Negativo.
Para
:
Negativo.
Não há mudança de sinal entre
e
, então não há raiz nesse intervalo.
Passo 6
Agora que sabemos onde estão as raízes (entre
e
, e entre
e
), precisamos encontrar uma terceira raiz, já que o polinômio é de terceiro grau. Sabemos que o número de raízes reais é igual ao grau do polinômio, contando multiplicidades.
Vamos usar a Divisão Sintética para simplificar o polinômio uma vez que encontramos uma raiz aproximada. Vamos assumir que uma das raízes está próxima de
.
Dividindo
por
:
Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Resposta
As raízes do polinômio
são:
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Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Encontre uma aproximação para
por spline cúbica interpolante da tabela:
|
0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
3 | 1.8616 | -0.5571 | -4.1987 | -9.0536 |
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