Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio . Isso está relacionado ao estudo de polinômios e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e encontrar os valores de que fazem .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar possíveis raízes racionais do polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que as raízes racionais possíveis são as frações formadas pelos divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 1 e o coeficiente líder é 3. Então, as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio e ver se obtemos zero.
Para :
Não é raiz.
Para :
Não é raiz.
Para :
Não é raiz.
Para :
Também não é raiz.

Passo 4

Como nenhuma das possíveis raízes racionais funcionou, precisamos tentar outro método. Vamos usar o Método de Fatoração por Agrupamento ou tentar identificar uma raiz real de outra forma, possivelmente com aproximações gráficas ou o uso de derivadas para localizar as raízes.
Vamos tentar fatorar o polinômio agrupando os termos:
Não conseguimos fatorar diretamente dessa forma. Então, vamos tentar encontrar uma raiz real usando gráficos ou métodos numéricos. Suponhamos que a função cruza o eixo x em três pontos, já que é um polinômio de terceiro grau.

Passo 5

Para localizar as raízes de forma mais precisa, podemos usar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para aproximar as raízes de uma função. No entanto, isso pode ser complexo sem uma calculadora. Alternativamente, podemos tentar identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos avaliar em alguns valores de :
Para :
Positivo.
Para :
Negativo.
Como houve uma mudança de sinal entre e , há uma raiz nesse intervalo.
Para :
Ainda negativo.
Para :
Positivo.
Mudança de sinal entre e , indicando outra raiz nesse intervalo.
Para :
Negativo.
Para :
Negativo.
Não há mudança de sinal entre e , então não há raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora que sabemos onde estão as raízes (entre e , e entre e ), precisamos encontrar uma terceira raiz, já que o polinômio é de terceiro grau. Sabemos que o número de raízes reais é igual ao grau do polinômio, contando multiplicidades.
Vamos usar a Divisão Sintética para simplificar o polinômio uma vez que encontramos uma raiz aproximada. Vamos assumir que uma das raízes está próxima de .
Dividindo por :
Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático :
Usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As raízes do polinômio são:

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Encontre uma aproximação para por spline cúbica interpolante da tabela:
0 0.5 1.0 1.5 2.0
3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536
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