Utilize a função de iteração varphi(x)=raiz[5]3 x-1 para encontrar uma aproximação barxi para uma raiz xi para a função f(x)=x^5-3 x+1 pelo Método Iterativo Linear utilizando x0=1 como aproximação inicial e com uma precisão varepsilon=10^-2.
Obs.: Em cada cálculo utilize pelo menos 3 casas decimais depois da vírgula (ponto).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a função de iteração para encontrar uma aproximação de uma raiz da função . Vamos usar o Método Iterativo Linear começando com e queremos chegar a uma precisão de (ou seja, 0,01). Para isso, vamos precisar recalcular a função várias vezes até que a diferença entre as iterações seja menor que 0,01. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método Iterativo Linear. Basicamente, a gente começa com uma aproximação inicial ( ) e usa a função de iteração para encontrar a próxima aproximação ( ), e assim por diante. A ideia é que, com cada passo, a gente chega mais perto da raiz verdadeira da função. No nosso caso, a função de iteração é .

Passo 3

Vamos começar com a aproximação inicial:
  • Iteração 0: x1 = varphi(x0) = raiz[5]3 times 1.000 - 1 = raiz[5]2 approx 1.149
Calculando a próxima iteração:
|x1 - x0| = |1.149 - 1.000| = 0.149 > 0.01
Verificamos a diferença entre e :
Como a diferença ainda é maior que 0,01, vamos para a próxima iteração.

Passo 4

Agora, com x2 = varphi(x1) = raiz[5]3 times 1.149 - 1 = raiz[5]2.447 approx 1.196 :
|x2 - x1| = |1.196 - 1.149| = 0.047 > 0.01
Verificamos a diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos.

Passo 5

Com x3 = varphi(x2) = raiz[5]3 times 1.196 - 1 = raiz[5]2.588 approx 1.213 :
|x3 - x2| = |1.213 - 1.196| = 0.017 > 0.01
Verificando a diferença:
Ainda precisamos de mais uma iteração.

Passo 6

Agora, usando x4 = varphi(x3) = raiz[5]3 times 1.213 - 1 = raiz[5]2.639 approx 1.214 :
|x4 - x3| = |1.214 - 1.213| = 0.001 < 0.01
Diferença:
Conseguimos atingir a precisão desejada!

Resposta

A aproximação da raiz é .

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