Encontre uma aproximação para uma raiz da função dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma aproximação para uma raiz da função definida por
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e precisamos usar conceitos de análise de séries para resolver. Vamos precisar entender como a série se comporta e usar métodos numéricos para aproximar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função . Observando a série:
Isso se parece com a expansão em série de Taylor da função cosseno:
Então, podemos concluir que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma raiz de , ou seja, resolver:
Sabemos que o cosseno é zero em certos pontos específicos. As raízes da função cosseno ocorrem quando é um múltiplo ímpar de :

Passo 4

Como queremos uma aproximação de uma raiz, vamos considerar , que nos dá:
Sabemos que é aproximadamente 3,1416, então:

Passo 5

Portanto, a aproximação para uma raiz da função é .

Resposta

Uma aproximação para uma raiz da função é .

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