Encontre uma aproximação para uma raiz da função f: R R dada por
f(x)=1+sumn=1^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma aproximação para uma raiz da função f(x) = 1 + sumn=1^infty (-1)^n x^2n(2n)! definida por
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e precisamos usar conceitos de análise de séries para resolver. Vamos precisar entender como a série se comporta e usar métodos numéricos para aproximar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função f(x) = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots . Observando a série:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = 1 - x^22! + x^44! - cdots
Isso se parece com a expansão em série de Taylor da função cosseno:
f(x) = cos(x)
Então, podemos concluir que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma raiz de cos(x) = 0 , ou seja, resolver:
x = pi2 + kpi, k in Z
Sabemos que o cosseno é zero em certos pontos específicos. As raízes da função cosseno ocorrem quando é um múltiplo ímpar de :

Passo 4

Como queremos uma aproximação de uma raiz, vamos considerar x = pi2 , que nos dá:
pi2 approx 3,14162 = 1,5708
Sabemos que é aproximadamente 3,1416, então:

Passo 5

Portanto, a aproximação para uma raiz da função é .

Resposta

Uma aproximação para uma raiz da função é .

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